Uma espaçonave está em uma trajetória em linha reta entre a Terra e a Lua. Utilizando o valor do raio orbital da Lua (que corresponde à distância da Lua e a Terra) determine a que distância da Lua a força gravitacional resultante sobre a espaçonave é nula? (Expresse seu resultado como uma fração em relação à distância entre a Terra e a Lua)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância da Lua onde a força gravitacional resultante sobre a espaçonave é zero. Para isso, vamos usar conceitos de gravitação universal e equilíbrio de forças. Vamos precisar saber as massas da Terra e da Lua, além da distância entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força gravitacional entre dois corpos é dada pela fórmula:
F = G M cdot md^2
onde:
  • é a força gravitacional,
  • é a constante gravitacional,
  • e são as massas dos dois corpos,
  • é a distância entre eles.

Passo 3

Queremos que a força gravitacional da Terra sobre a espaçonave seja igual à força gravitacional da Lua sobre a mesma. Assim, temos:
G MTerra cdot m(R - x)^2 = G MLua cdot mx^2
Onde:
  • é a distância total entre a Terra e a Lua,
  • é a distância da espaçonave à Lua.

Passo 4

Podemos simplificar a equação cancelando MTerra(R - x)^2 = MLuax^2 e dos dois lados:

Passo 5

Sabemos que a massa da Terra �� aproximadamente 81 vezes a massa da Lua:
MTerra = 81 cdot MLua

Passo 6

Substituindo na equação:
81 cdot MLua(R - x)^2 = MLuax^2
Cancelando 81(R - x)^2 = 1x^2 :

Passo 7

Agora, vamos rearranjar a equação para isolar os termos:
81x^2 = (R - x)^2

Passo 8

Desenvolvendo o lado direito:
81x^2 = R^2 - 2Rx + x^2

Passo 9

Movendo todos os termos para um lado da equação:
80x^2 + 2Rx - R^2 = 0

Passo 10

Essa é uma equação quadrática na forma x = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
  • ,
  • ,
  • .

Passo 11

Calculando o discriminante:
De

Passo 12

Então:
x = -2R pm raiz324R^2160 = -2R pm 18R160

Passo 13

Desconsiderando a solução negativa (pois distância não pode ser negativa):
x = 16R160 = R10

Resposta

A distância da Lua onde a força gravitacional resultante é nula é da distância total entre a Terra e a Lua.

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