Uma espaçonave está em uma trajetória em linha reta entre a Terra e a Lua. Utilizando o valor do raio orbital da Lua (que corresponde à distância da Lua e a Terra) determine a que distância da Lua a força gravitacional resultante sobre a espaçonave é nula? (Expresse seu resultado como uma fração em relação à distância entre a Terra e a Lua)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância da Lua onde a força gravitacional resultante sobre a espaçonave é zero. Para isso, vamos usar conceitos de gravitação universal e equilíbrio de forças. Vamos precisar saber as massas da Terra e da Lua, além da distância entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força gravitacional entre dois corpos é dada pela fórmula:
onde:
-
é a força gravitacional, -
é a constante gravitacional, -
e são as massas dos dois corpos, -
é a distância entre eles.
Passo 3
Queremos que a força gravitacional da Terra sobre a espaçonave seja igual à força gravitacional da Lua sobre a mesma. Assim, temos:
Onde:
-
é a distância total entre a Terra e a Lua, -
é a distância da espaçonave à Lua.
Passo 4
Podemos simplificar a equação cancelando
e
dos dois lados:
Passo 5
Sabemos que a massa da Terra �� aproximadamente 81 vezes a massa da Lua:
Passo 6
Substituindo na equação:
Cancelando
:
Passo 7
Agora, vamos rearranjar a equação para isolar os termos:
Passo 8
Desenvolvendo o lado direito:
Passo 9
Movendo todos os termos para um lado da equação:
Passo 10
Essa é uma equação quadrática na forma
. Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
-
, -
, -
.
Passo 11
Calculando o discriminante:
Passo 12
Então:
Passo 13
Desconsiderando a solução negativa (pois distância não pode ser negativa):
Resposta
A distância da Lua onde a força gravitacional resultante é nula é
da distância total entre a Terra e a Lua.