Uma espaçonave está em uma trajetória em linha reta entre a Terra e a Lua. Utilizando o valor do raio orbital da Lua (que corresponde à distância da Lua e a Terra) determine a que distância da Lua a força gravitacional resultante sobre a espaçonave é nula? (Expresse seu resultado como uma fração em relação à distância entre a Terra e a Lua)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância da Lua onde a força gravitacional resultante sobre a espaçonave é zero. Para isso, vamos usar conceitos de gravitação universal e equilíbrio de forças. Vamos precisar saber as massas da Terra e da Lua, além da distância entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força gravitacional entre dois corpos é dada pela fórmula:
onde:
  • é a força gravitacional,
  • é a constante gravitacional,
  • e são as massas dos dois corpos,
  • é a distância entre eles.

Passo 3

Queremos que a força gravitacional da Terra sobre a espaçonave seja igual à força gravitacional da Lua sobre a mesma. Assim, temos:
Onde:
  • é a distância total entre a Terra e a Lua,
  • é a distância da espaçonave à Lua.

Passo 4

Podemos simplificar a equação cancelando e dos dois lados:

Passo 5

Sabemos que a massa da Terra �� aproximadamente 81 vezes a massa da Lua:

Passo 6

Substituindo na equação:
Cancelando :

Passo 7

Agora, vamos rearranjar a equação para isolar os termos:

Passo 8

Desenvolvendo o lado direito:

Passo 9

Movendo todos os termos para um lado da equação:

Passo 10

Essa é uma equação quadrática na forma . Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
  • ,
  • ,
  • .

Passo 11

Calculando o discriminante:

Passo 12

Então:

Passo 13

Desconsiderando a solução negativa (pois distância não pode ser negativa):

Resposta

A distância da Lua onde a força gravitacional resultante é nula é da distância total entre a Terra e a Lua.

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