Um foguete queima completamente o seu combustível a uma altitude h acima da superfície terrestre. Sua velocidade no momento em que acaba o combustível, excede a velocidade de escape apropriada para aquela altitude. Mostre que a velocidade do foguete, a uma distância muito grande da Terra, será dada por

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um foguete que queima todo o seu combustível a uma certa altitude acima da Terra. Nesse ponto, sua velocidade é , que é maior que a velocidade de escape para essa altitude. Queremos mostrar que, quando o foguete estiver muito longe da Terra, sua velocidade final será dada por . Para resolver isso, vamos usar o conceito de conservação de energia mecânica, que envolve energia cinética e energia potencial gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a energia mecânica total de um objeto é a soma da sua energia cinética ( ) e da sua energia potencial gravitacional ( ). Podemos expressar isso da seguinte forma:
Aqui, é a massa do foguete, é a constante gravitacional, é a massa da Terra, e é o raio da Terra.

Passo 3

No ponto onde o foguete queima todo o combustível (altura ), sua energia mecânica é:
Quando o foguete está muito longe da Terra, a energia potencial gravitacional tende a zero, então a energia mecânica final é simplesmente:

Passo 4

Como não há forças não conservativas atuando (como atrito, já que estamos considerando o espaço), a energia mecânica se conserva durante o movimento. Portanto, podemos igualar as energias inicial e final:

Passo 5

Sabemos que a velocidade de escape para a altitude é a velocidade necessária para que a energia mecânica total seja zero quando o foguete estiver muito longe. Ou seja:

Passo 6

Resolvendo a equação para , temos:
Agora, substituímos esse valor de na primeira equação:

Passo 7

Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:

Passo 8

Finalmente, isolando na equação:

Resposta

Portanto, a velocidade do foguete, quando estiver a uma distância muito grande da Terra, é dada por:

Exercícios relacionados

Suponhamos que quando um planeta ou um cometa descreve uma órbita em torno do Sol, o Sol permanece absolutamente estacionário. Certamente, isso não deve ser correto; assim como o Sol exerce uma força gravitacional sobre o planeta, o planeta também exerce uma força gravitacional sobre o Sol com mesmo módulo e mesma direção. Na realidade, o Sol e o planeta descrevem uma órbita em torno do centro de massa comum. Contudo, desprezando este efeito cometemos um pequeno erro. A massa do Sol é aproximadamente 750 vezes maior do que a soma das massas de todos os planetas somados, de modo que o centro de massa do sistema solar não está muito afastado do centro do Sol. Porém no caso de uma estrela binária, um sistema constituído por duas estrelas com massas aproximadamente iguais, este efeito não pode ser desprezado, e devemos considerar o movimento de ambas estrelas em torno do centro de massa comum.
Em um certo sistema estelar binário, as duas estrelas têm uma massa igual à do Sol e giram em torno do centro de massa. A distância entre as estrelas é igual à distância entre a Terra e o Sol. Qual o período de revolução das estrelas em anos? (Dica: As estrelas giram em torno do ponto médio entre ambas, portanto o raio da órbita será a metade da distância entre elas. A força centrípeta será a força gravitacional. A equação de período orbital obtida em aula não considera isso e portanto não pode ser utilizada neste exercício)
A Linha de Kármán, é um limite convencionado que fica a uma altitude de 100 km acima do nível do mar, usado para definir o limite entre a atmosfera terrestre e o espaço exterior. O nome é uma homenagem a Theodore von Kármán, um engenheiro e físico Húngaro-Americano, que contribuiu nos campos da aeronáutica e da astronáutica. Foi ele quem primeiro calculou que aproximadamente a essa altitude, a densidade da atmosfera terrestre se tornava tão baixa para fins aeronáuticos, que qualquer veículo a essa altitude, teria que se deslocar a velocidades maiores que a velocidade orbital para conseguir sustentação aerodinâmica (ou seja, é mais fácil orbitar do que voar). Para todos os efeitos podemos desprezar os efeitos do arrasto do ar acima desta altitude em lançamentos verticais.
Um projétil é lançado verticalmente para cima a partir da linha de Kármán com uma velocidade de . (a) Qual é a aceleração gravitacional na altitude da linha de Kármán de onde o projétil é lançado? (b) Qual será a altitude máxima, a partir da superfície da Terra, atingida pelo projétil? © Qual seria a altura máxima atingida se considerássemos erroneamente a aceleração gravitacional encontrada na parte (a) como constante ao longo da direção do movimento? (d) Por que o resultado encontrado em © é menor do encontrado em (b)?
O planeta Mercúrio possui uma órbita em torno do Sol acentuadamente excêntrica em comparação aos demais planetas. Sua órbita possui excentricidade 0,206 e seu período de translação é de 88 dias terrestres. A partir destas informações obtenha os seguintes parâmetros relativos à orbita de Mercúrio: (a) O semi-eixo maior; (b) o valor do periélio; © o valor do afélio; (d) a maior velocidade orbital; (e) a menor velocidade orbital. Em um determinado ponto da órbita de Mercúrio, sua distância até o Sol é igual ao semi-eixo maior da elipse. Obtenha (f) a velocidade orbital neste ponto e (g) o ângulo descrito entre o vetor velocidade de Mercúrio e o vetor posição a partir do Sol.
Uma espaçonave está em uma trajetória em linha reta entre a Terra e a Lua. Utilizando o valor do raio orbital da Lua (que corresponde à distância da Lua e a Terra) determine a que distância da Lua a força gravitacional resultante sobre a espaçonave é nula? (Expresse seu resultado como uma fração em relação à distância entre a Terra e a Lua)