Um foguete queima completamente o seu combustível a uma altitude h acima da superfície terrestre. Sua velocidade v0 no momento em que acaba o combustível, excede a velocidade de escape apropriada para aquela altitude. Mostre que a velocidade v do foguete, a uma distância muito grande da Terra, será dada por raizv0^2-vE S C^2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um foguete que queima todo o seu combustível a uma certa altitude h acima da Terra. Nesse ponto, sua velocidade é v0, que é maior que a velocidade de escape para essa altitude. Queremos mostrar que, quando o foguete estiver muito longe da Terra, sua velocidade final v será dada por raizv0^2 - vESC^2. Para resolver isso, vamos usar o conceito de conservação de energia mecânica, que envolve energia cinética e energia potencial gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a energia mecânica total de um objeto é a soma da sua energia cinética ( EC) e da sua energia potencial gravitacional ( EP). Podemos expressar isso da seguinte forma:
Emec = EC + EP = 12 m v^2 - G M mR + h
Aqui, m é a massa do foguete, G é a constante gravitacional, M é a massa da Terra, e R é o raio da Terra.

Passo 3

No ponto onde o foguete queima todo o combustível (altura h), sua energia mecânica é:
Emec,inicial = 12 m v0^2 - G M mR + h
Quando o foguete está muito longe da Terra, a energia potencial gravitacional tende a zero, então a energia mecânica final é simplesmente:
Emec,final = 12 m v^2

Passo 4

Como não há forças não conservativas atuando (como atrito, já que estamos considerando o espaço), a energia mecânica se conserva durante o movimento. Portanto, podemos igualar as energias inicial e final:
12 m v0^2 - G M mR + h = 12 m v^2

Passo 5

Sabemos que a velocidade de escape vESC para a altitude h é a velocidade necessária para que a energia mecânica total seja zero quando o foguete estiver muito longe. Ou seja:
12 m vESC^2 - G M mR + h = 0

Passo 6

Resolvendo a equação para vESC, temos:
12 vESC^2 = G MR + h
Agora, substituímos esse valor de G MR + h na primeira equação:
12 v0^2 - 12 vESC^2 = 12 v^2

Passo 7

Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
v0^2 - vESC^2 = v^2

Passo 8

Finalmente, isolando v na equação:
v = raizv0^2 - vESC^2

Resposta

Portanto, a velocidade v do foguete, quando estiver a uma distância muito grande da Terra, é dada por:
v = raizv0^2 - vESC^2

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