Um foguete queima completamente o seu combustível a uma altitude h acima da superfície terrestre. Sua velocidade
no momento em que acaba o combustível, excede a velocidade de escape apropriada para aquela altitude. Mostre que a velocidade
do foguete, a uma distância muito grande da Terra, será dada por
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um foguete que queima todo o seu combustível a uma certa altitude
acima da Terra. Nesse ponto, sua velocidade é
, que é maior que a velocidade de escape para essa altitude. Queremos mostrar que, quando o foguete estiver muito longe da Terra, sua velocidade final
será dada por
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de conservação de energia mecânica, que envolve energia cinética e energia potencial gravitacional.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a energia mecânica total de um objeto é a soma da sua energia cinética (
) e da sua energia potencial gravitacional (
). Podemos expressar isso da seguinte forma:
Aqui,
é a massa do foguete,
é a constante gravitacional,
é a massa da Terra, e
é o raio da Terra.
Passo 3
No ponto onde o foguete queima todo o combustível (altura
), sua energia mecânica é:
Quando o foguete está muito longe da Terra, a energia potencial gravitacional tende a zero, então a energia mecânica final é simplesmente:
Passo 4
Como não há forças não conservativas atuando (como atrito, já que estamos considerando o espaço), a energia mecânica se conserva durante o movimento. Portanto, podemos igualar as energias inicial e final:
Passo 5
Sabemos que a velocidade de escape
para a altitude
é a velocidade necessária para que a energia mecânica total seja zero quando o foguete estiver muito longe. Ou seja:
Passo 6
Resolvendo a equação para
, temos:
Agora, substituímos esse valor de
na primeira equação:
Passo 7
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 8
Finalmente, isolando
na equação:
Resposta
Portanto, a velocidade
do foguete, quando estiver a uma distância muito grande da Terra, é dada por: