O planeta Mercúrio possui uma órbita em torno do Sol acentuadamente excêntrica em comparação aos demais planetas. Sua órbita possui excentricidade 0,206 e seu período de translação é de 88 dias terrestres. A partir destas informações obtenha os seguintes parâmetros relativos à orbita de Mercúrio: (a) O semi-eixo maior; (b) o valor do periélio; © o valor do afélio; (d) a maior velocidade orbital; (e) a menor velocidade orbital. Em um determinado ponto da órbita de Mercúrio, sua distância até o Sol é igual ao semi-eixo maior da elipse. Obtenha (f) a velocidade orbital neste ponto e (g) o ângulo descrito entre o vetor velocidade de Mercúrio e o vetor posição a partir do Sol.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a órbita de Mercúrio! O enunciado nos dá a excentricidade da órbita (0,206) e o período de translação (88 dias terrestres). Vamos precisar usar conhecimentos de astronomia e física orbital, como as leis de Kepler e fórmulas relacionadas a órbitas elípticas, para encontrar os parâmetros pedidos: semieixo maior, periélio, afélio, velocidades orbitais máxima e mínima, velocidade em um ponto específico e o ângulo entre os vetores de velocidade e posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o semieixo maior da órbita de Mercúrio. Sabemos que o período de translação
está relacionado ao semieixo maior
pela terceira lei de Kepler:
Aqui,
está em anos terrestres. Como 88 dias é aproximadamente 0,241 anos, substituímos:
UA é a Unidade Astronômica, a distância média entre a Terra e o Sol.
Passo 3
Agora, vamos calcular o periélio (
) e o afélio (
) da órbita. Usamos as fórmulas:
Onde
é a excentricidade (0,206).
Substituindo:
Passo 4
Para encontrar as velocidades máximas e mínimas na órbita, usamos a conservação da energia e do momento angular. As velocidades são dadas por:
Onde
é a constante gravitacional e
é a massa do Sol. Porém, para simplificar, podemos usar a relação:
Convertendo o período para segundos e usando
UA, podemos calcular
e
. Supondo
conhecido, os cálculos dão:
Passo 5
Agora, vamos calcular a velocidade orbital quando a distância ao Sol é igual ao semieixo maior
. Nesse ponto, a velocidade pode ser encontrada usando a energia orbital:
Substituindo os valores:
Passo 6
Por fim, vamos determinar o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor posição quando Mercúrio está a uma distância igual ao semieixo maior. Na órbita elíptica, nesse ponto, a velocidade está perpendicular à posição, portanto, o ângulo é de 90 graus.
Resposta
(a) Semieixo maior:
UA
(b) Periélio:
UA
© Afélio:
UA
(d) Maior velocidade orbital:
km/s
(e) Menor velocidade orbital:
km/s
(f) Velocidade orbital no semieixo maior:
km/s
(g) Ângulo entre os vetores: