O planeta Mercúrio possui uma órbita em torno do Sol acentuadamente excêntrica em comparação aos demais planetas. Sua órbita possui excentricidade 0,206 e seu período de translação é de 88 dias terrestres. A partir destas informações obtenha os seguintes parâmetros relativos à orbita de Mercúrio: (a) O semi-eixo maior; (b) o valor do periélio; © o valor do afélio; (d) a maior velocidade orbital; (e) a menor velocidade orbital. Em um determinado ponto da órbita de Mercúrio, sua distância até o Sol é igual ao semi-eixo maior da elipse. Obtenha (f) a velocidade orbital neste ponto e (g) o ângulo descrito entre o vetor velocidade de Mercúrio e o vetor posição a partir do Sol.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a órbita de Mercúrio! O enunciado nos dá a excentricidade da órbita (0,206) e o período de translação (88 dias terrestres). Vamos precisar usar conhecimentos de astronomia e física orbital, como as leis de Kepler e fórmulas relacionadas a órbitas elípticas, para encontrar os parâmetros pedidos: semieixo maior, periélio, afélio, velocidades orbitais máxima e mínima, velocidade em um ponto específico e o ângulo entre os vetores de velocidade e posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o semieixo maior da órbita de Mercúrio. Sabemos que o período de translação T^2 = a^3 está relacionado ao semieixo maior (0,241)^2 = a^3 implies a^3 = 0,0581 implies a = raiz[3]0,0581 approx 0,39 UA pela terceira lei de Kepler:
Aqui, está em anos terrestres. Como 88 dias é aproximadamente 0,241 anos, substituímos:
UA é a Unidade Astronômica, a distância média entre a Terra e o Sol.

Passo 3

Agora, vamos calcular o periélio ( rp = a (1 - e) ) e o afélio ( ra = a (1 + e) ) da órbita. Usamos as fórmulas:
rp = 0,39 times (1 - 0,206) approx 0,39 times 0,794 approx 0,31 UA
ra = 0,39 times (1 + 0,206) approx 0,39 times 1,206 approx 0,47 UA
Onde é a excentricidade (0,206).
Substituindo:

Passo 4

Para encontrar as velocidades máximas e mínimas na órbita, usamos a conservação da energia e do momento angular. As velocidades são dadas por:
vp = raizG M (1 + e)a (1 - e)
va = raizG M (1 - e)a (1 + e)
Onde vp = 2 pi aT 1 + eraiz1 - e^2 é a constante gravitacional e va = 2 pi aT 1 - eraiz1 - e^2 é a massa do Sol. Porém, para simplificar, podemos usar a relação:
vp approx 58 km/s
va approx 38 km/s
Convertendo o período para segundos e usando UA, podemos calcular e . Supondo conhecido, os cálculos dão:

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade orbital quando a distância ao Sol é igual ao semieixo maior v = raizG Ma . Nesse ponto, a velocidade pode ser encontrada usando a energia orbital:
v approx 47 km/s
Substituindo os valores:

Passo 6

Por fim, vamos determinar o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor posição quando Mercúrio está a uma distância igual ao semieixo maior. Na órbita elíptica, nesse ponto, a velocidade está perpendicular à posição, portanto, o ângulo é de 90 graus.

Resposta

(a) Semieixo maior: UA
(b) Periélio: UA
© Afélio: UA
(d) Maior velocidade orbital: km/s
(e) Menor velocidade orbital: km/s
(f) Velocidade orbital no semieixo maior: km/s
(g) Ângulo entre os vetores:

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