(EsPCEx - 2001) Dada a equação |2x - 3| + |x| - 5 = 0, a soma de todas as suas soluções é igual a
a) 3
b) 8 / 3
c) 2
d) 4/3
e) 2/3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação . A gente vai trabalhar com funções absolutas, que são parte da matemática chamada de “funções de valor absoluto”. Pra resolver isso, vamos precisar analisar diferentes casos dependendo dos valores de x que fazem com que as expressões dentro dos valores absolutos sejam positivas ou negativas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Temos e x.
Para :
Para x = 0:
Então, os pontos críticos são x = 0 e . Isso divide a linha dos números reais em três intervalos:

Passo 3

Vamos resolver a equação em cada um desses intervalos.
Intervalo 1:
Nessa faixa, x é negativo, então . Também, será negativo porque é negativo e menor que 3.
Substituindo na equação:
Resolvendo para x:
Como , essa solução é válida.

Passo 4

Intervalo 2:
Aqui, x é não negativo, então . Entretanto, para , como , ainda é negativo.
Substituindo na equação:
Resolvendo para x:
Mas não está no intervalo , então não há solução nesse intervalo.

Passo 5

Intervalo 3:
Aqui, tanto x quanto são não negativos, então e .
Substituindo na equação:
Resolvendo para x:
Como , essa solução é válida.

Resposta

As soluções da equação são e . Somando essas soluções:
Portanto, a soma das soluções é 2.

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