Usando a separação de variáveis, mostre que a parte radial
da função de onda do elétron satisfaz a equação diferencial radial:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que, usando a técnica de separação de variáveis, a parte radial
da função de onda do elétron satisfaz uma certa equação diferencial radial. Esse problema está dentro da mecânica quântica, mais especificamente na resolução da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio. Para resolver isso, vamos precisar usar a separação de variáveis na equação de Schrödinger e focar na parte radial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em potencial:
Aqui,
é a função de onda,
é o potencial,
é a massa da partícula,
é a constante de Planck reduzida, e
é a energia total.
Passo 3
Como estamos lidando com o átomo de hidrogênio, o potencial
é o potencial coulombiano:
Onde
é a carga do elétron e
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
A gente vai usar coordenadas esféricas porque o problema tem simetria esférica. Nessa coordenada, a função de onda pode ser separada em uma parte radial e uma parte angular:
Onde
é a parte radial e
são os harmônicos esféricos, que dependem dos ângulos.
Passo 5
Substituindo
na equação de Schrödinger e dividindo ambos os lados por
, a equação se separa em termos radiais e angulares. A parte angular nos leva aos harmônicos esféricos, que satisfazem:
Aqui,
é o número quântico angular.
Passo 6
Focando na parte radial, a equação resultante fica:
Resposta
Portanto, utilizando a separação de variáveis na equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio, mostramos que a parte radial
da função de onda do elétron satisfaz a equação diferencial radial: