Usando a separação de variáveis, mostre que a parte radial da função de onda do elétron satisfaz a equação diferencial radial:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que, usando a técnica de separação de variáveis, a parte radial da função de onda do elétron satisfaz uma certa equação diferencial radial. Esse problema está dentro da mecânica quântica, mais especificamente na resolução da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio. Para resolver isso, vamos precisar usar a separação de variáveis na equação de Schrödinger e focar na parte radial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em potencial:
Aqui, é a função de onda, é o potencial, é a massa da partícula, é a constante de Planck reduzida, e é a energia total.

Passo 3

Como estamos lidando com o átomo de hidrogênio, o potencial é o potencial coulombiano:
Onde é a carga do elétron e é a permissividade do vácuo.

Passo 4

A gente vai usar coordenadas esféricas porque o problema tem simetria esférica. Nessa coordenada, a função de onda pode ser separada em uma parte radial e uma parte angular:
Onde é a parte radial e são os harmônicos esféricos, que dependem dos ângulos.

Passo 5

Substituindo na equação de Schrödinger e dividindo ambos os lados por , a equação se separa em termos radiais e angulares. A parte angular nos leva aos harmônicos esféricos, que satisfazem:
â
Aqui, é o número quântico angular.

Passo 6

Focando na parte radial, a equação resultante fica:

Resposta

Portanto, utilizando a separação de variáveis na equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio, mostramos que a parte radial da função de onda do elétron satisfaz a equação diferencial radial:

Exercícios relacionados

Utilizando os conceitos da análise dimensional, mostre que o coeficiente de sustentação, , é uma função do número de Reynolds, ou seja, .
Admitindo que o escoamento seja invíscido e sabendo que a distribuição de deste perfil, sob tais condições do escoamento não-perturbado é tal que: . Determine: O coeficiente de arrasto, .
Usando coordenadas esféricas, aplique o método de separação de variáveis para resolver a equação de autovalores de energia e autoestados de energia.
(a) Faça a separação de variáveis . Mostre que a parte angular pode ser escrita como harmônicos esféricos fazendo a separação em e em . Discuta os rótulos e associados aos harmônicos esféricos. Explique e discuta quais são os possíveis valores.
Especialize a equação radial para o caso convergente. Encontre as soluções que satisfazem a condição de normalização. Aplique o método de Frobenius para encontrar a solução geral da equação radial. Mostre e discuta os valores da energia permitidos.