Usando a separação de variáveis, mostre que a parte radial R(r) da função de onda do elétron satisfaz a equação diferencial radial:
1r^2 dd r(r^2 dRd r)+[2 mhbar^2(E-e^24 pi epsilon0 r)-l(l+1)r^2] R=0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que, usando a técnica de separação de variáveis, a parte radial R(r) da função de onda do elétron satisfaz uma certa equação diferencial radial. Esse problema está dentro da mecânica quântica, mais especificamente na resolução da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio. Para resolver isso, vamos precisar usar a separação de variáveis na equação de Schrödinger e focar na parte radial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em potencial:
-hbar^22m nabla^2 Psi + V(r) Psi = E Psi
Aqui, Psi é a função de onda, V(r) é o potencial, m é a massa da partícula, hbar é a constante de Planck reduzida, e E é a energia total.

Passo 3

Como estamos lidando com o átomo de hidrogênio, o potencial V(r) é o potencial coulombiano:
V(r) = -e^24 pi epsilon0 r
Onde e é a carga do elétron e epsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 4

A gente vai usar coordenadas esféricas porque o problema tem simetria esférica. Nessa coordenada, a função de onda pode ser separada em uma parte radial e uma parte angular:
Psi(r, theta, phi) = R(r) Y(theta, phi)
Onde R(r) é a parte radial e Y(theta, phi) são os harmônicos esféricos, que dependem dos ângulos.

Passo 5

Substituindo Psi(r, theta, phi) = R(r) Y(theta, phi) na equação de Schrödinger e dividindo ambos os lados por Psi, a equação se separa em termos radiais e angulares. A parte angular nos leva aos harmônicos esféricos, que satisfazem:
nabla^2ângular Y(theta, phi) = -l(l+1) Y(theta, phi) â
Aqui, l é o número quântico angular.

Passo 6

Focando na parte radial, a equação resultante fica:
1r^2 ddr ( r^2 dRdr ) + [ 2mhbar^2 ( E - e^24 pi epsilon0 r ) - l(l+1)r^2 ] R = 0

Resposta

Portanto, utilizando a separação de variáveis na equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio, mostramos que a parte radial R(r) da função de onda do elétron satisfaz a equação diferencial radial:
1r^2 dd r(r^2 dRd r)+[2 mhbar^2(E-e^24 pi epsilon0 r)-l(l+1)r^2] R=0

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