Especifique o dominio da função: lim x 0^+ f(x), sabendo que o gráfico de f é uma semireta e tal que |f(x)-3| <= x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o limite da função quando se aproxima de 0 pela direita, ou seja, . A gente sabe que o gráfico de é uma semireta e que satisfaz a condição . Vamos usar conceitos de limites e desigualdades para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a condição . Isso quer dizer que a distância entre e 3 é no máximo . Em termos de limites, isso nos ajuda a controlar o comportamento de perto de .

Passo 3

Vamos reescrever a desigualdade -x <= f(x) - 3 <= x sem o valor absoluto. Isso nos dá:
3 - x <= f(x) <= 3 + x
Agora, somando 3 em todas as partes da desigualdade:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite de cada parte quando limx 0^+ (3 - x) = 3 se aproxima de 0 pela direita. Sabemos que:
limx 0^+ (3 + x) = 3

Passo 5

Como limx 0^+ f(x) = 3 está “presas” entre e , e ambos os limites das extremidades são 3, pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto), podemos concluir que:

Resposta

O limite da função limx 0^+ f(x) = 3 quando se aproxima de 0 pela direita é igual a 3.

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