Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique.
Passo 1
Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A pergunta é para dar um exemplo de um ponto onde essa função é contínua e justificar por quê. Para isso, vamos precisar saber o que é continuidade e como verificar isso em funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se as três condições seguintes forem verdadeiras:
-
existe. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Vamos analisar a função dada. Ela está definida de duas formas, dependendo se
é menor ou maior que 1. Isso significa que pode ter alguma peculiaridade em
, mas também precisamos verificar outros pontos.
Passo 4
Vamos escolher um ponto diferente de 1, por exemplo,
. Vamos ver se a função é contínua nesse ponto.
Passo 5
Para
, que é menor que 1, usamos a primeira parte da função:
.
Calculamos:
Passo 6
Agora, vamos verificar o limite de
quando
se aproxima de 0.
Como
está na parte onde
, o limite é:
Passo 7
Comparando o limite com o valor da função:
Resposta
Portanto, a função
é contínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Especifique o dominio da função:
, sabendo que o gráfico de
é uma semireta e tal que
Calcule o limite, caso exista. Se não existir, justifique.
, sendo
Decida se existe algum ponto onde a funçã NÃO seja contínua, justifique.
Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique.
, sabendo que o gráfico de
é uma semireta e tal que