integral x(7-6 x^2)^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente uma integral que envolve uma função composta. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que é super útil quando temos uma função dentro de outra função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar a expressão. Observe que temos u = 7 - 6x^2 elevado a uma potência. Vamos chamar essa parte de .
Então, fazemos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = -12x em relação a du = -12x , dx para substituir o na integral. Vamos derivar :
Isso significa que:

Passo 4

Queremos expressar x , dx = -112 , du em termos de . Da equação acima, podemos rearranjar:

Passo 5

Agora, vamos substituir integral x(7-6 x^2)^4 , dx = integral (u)^4 (-112) , du e -112 integral u^4 , du na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 6

Vamos integrar integral u^4 , du = u^55 + C em relação a -112 cdot u^55 + C = -u^560 + C :
Então, substituindo de volta na nossa expressão:

Passo 7

Por fim, lembrando que -(7 - 6x^2)^560 + C , substituímos novamente para expressar a resposta em termos de :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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