Especifique os focos e os vértices, e calcule a distância focal, as medidas dos eixos transverso e conjugado, e as equações das assíntotas das hipérboles abaixo.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação de uma hipérbole: . O conteúdo que vamos utilizar é a Geometria Analítica, focando nas propriedades das hipérboles. Precisamos encontrar os focos e vértices, calcular a distância focal, as medidas dos eixos transverso e conjugado, e as equações das assíntotas dessa hipérbole.
Passo 2
Primeiro, precisamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. Vamos começar com a equação dada:
Vamos isolar os termos de e :
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por :
Rearranjando:
Agora, dividimos todos os termos por 9 para deixar o lado direito igual a 1:
Simplificando as frações:
Agora, a equação está na forma padrão de uma hipérbole vertical:
Onde é o centro da hipérbole. No nosso caso, o centro é .
Passo 3
Vamos identificar os valores de e :
Esses valores nos ajudam a determinar os vértices e os eixos da hipérbole.
Passo 4
Os vértices de uma hipérbole vertical estão localizados a uma distância acima e abaixo do centro. Portanto, os vértices são:
Passo 5
Para encontrar os focos, precisamos calcular a distância focal , que está relacionada a e pela fórmula:
Substituindo os valores:
Então, os focos estão localizados a uma distância de acima e abaixo do centro:
Passo 6
Agora, vamos calcular as medidas dos eixos:
Eixo Transversal: É o eixo que passa pelos vértices, portanto:
Eixo Conjugado: É perpendicular ao eixo transversal e tem comprimento :
Passo 7
Por último, queremos encontrar as equações das assíntotas. Para uma hipérbole vertical, as assíntotas são dadas por: