Especifique os focos e os vértices, e calcule a distância focal, as medidas dos eixos transverso e conjugado, e as equações das assíntotas das hipérboles abaixo. 9 x^225-y^2+9=0

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação de uma hipérbole: . O conteúdo que vamos utilizar é a Geometria Analítica, focando nas propriedades das hipérboles. Precisamos encontrar os focos e vértices, calcular a distância focal, as medidas dos eixos transverso e conjugado, e as equações das assíntotas dessa hipérbole.

Passo 2

Primeiro, precisamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. Vamos começar com a equação dada:
9 x^225 - y^2 + 9 = 0
Vamos isolar os termos de 9 x^225 - y^2 = -9 e -9 x^225 + y^2 = 9 :
y^2 - 9 x^225 = 9
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por y^29 - x^2259 = 1 :
y^23^2 - x^2(53)^2 = 1
Rearranjando:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Agora, dividimos todos os termos por 9 para deixar o lado direito igual a 1:
Simplificando as frações:
Agora, a equação está na forma padrão de uma hipérbole vertical:
Onde é o centro da hipérbole. No nosso caso, o centro é .

Passo 3

Vamos identificar os valores de a^2 = 9 Rightarrow a = 3 e b^2 = 259 Rightarrow b = 53 :
Esses valores nos ajudam a determinar os vértices e os eixos da hipérbole.

Passo 4

Os vértices de uma hipérbole vertical estão localizados a uma distância (0, 0 + 3) = (0, 3) acima e abaixo do centro. Portanto, os vértices são:
(0, 0 - 3) = (0, -3)

Passo 5

Para encontrar os focos, precisamos calcular a distância focal c^2 = a^2 + b^2 , que está relacionada a c^2 = 9 + 259 = 819 + 259 = 1069 e c = raiz1063 pela fórmula:
(0, raiz1063) e (0, -raiz1063)
Substituindo os valores:
Então, os focos estão localizados a uma distância de acima e abaixo do centro:

Passo 6

Agora, vamos calcular as medidas dos eixos:
  • Eixo Transversal: É o eixo que passa pelos vértices, portanto:
2a = 2 times 3 = 6
  • Eixo Conjugado: É perpendicular ao eixo transversal e tem comprimento 2b = 2 times 53 = 103 :

Passo 7

Por último, queremos encontrar as equações das assíntotas. Para uma hipérbole vertical, as assíntotas são dadas por:
y = pm ab x
Substituindo y = pm 353 x = pm 95 x e y = 95x e y = -95x :
Portanto, as equações das assíntotas são:

Resposta

  • Focos: e
  • Vértices: e
  • Distância Focal:
  • Eixo Transversal:
  • Eixo Conjugado:
  • Equações das Assíntotas: e

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