A nalise cada subconjunto dado abaixo e diga se são ou não um subespaço vetorial do e de com as operações usuais. Justifique sus resposta.
Passo 1
Vamos analisar se o conjunto é um subespaço vetorial de e de . Para isso, precisamos entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para que um conjunto seja considerado como tal. Vamos precisar verificar três condições fundamentais:
O conjunto não está vazio.
É fechado sob adição vetorial.
É fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se não está vazio. Observamos que para e , a matriz fica:
Este é um elemento de , então o conjunto não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos verificar se é fechado sob adição vetorial. Vamos pegar duas matrizes quaisquer de :
Somando e :
Para que esteja em , a entrada (1,2) deve ser igual a 1. No entanto, temos 2 nessa posição, o que não satisfaz a condição de pertencimento a . Portanto, não é fechado sob adição vetorial.
Passo 4
Como já falamos que não é fechado sob adição vetorial, não precisamos verificar a condição de multiplicação por escalar. Se uma das condições não é satisfeita, o conjunto não é um subespaço vetorial.
Passo 5
Além disso, para verificar se é um subespaço de , precisamos lembrar que é um conjunto de matrizes , não vetores em . Portanto, não pode ser um subespaço de .
Resposta
O conjunto não é um subespaço vetorial de nem de , pois não satisfaz as condições de fechamento sob adição vetorial.