Resolver os sistemas por escalonamento. Para sistemas com solução indeterminada, obter a resposta em forma paramétrica.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de escalonamento. O que isso significa? Basicamente, a gente vai organizar as equações de forma que fique mais fácil encontrar os valores de x - y + 2z - t = 0 (Equação 1) 3x + y + 3z + t = 0 (Equação 2) x - y - z - 5t = 0 (Equação 3) , , e . Vamos precisar usar operações básicas de álgebra, como somar ou subtrair equações para eliminar variáveis.
As equações que temos são:
çãçãçã
Passo 2
Primeiro, vamos tentar eliminar uma variável para simplificar o sistema. Vamos eliminar o 3(x - y + 2z - t) = 3 cdot 0 Rightarrow 3x - 3y + 6z - 3t = 0 (Equação 1 mu. Para isso, vamos usar a Equação 1 e a Equação 2.
Multiplicamos a Equação 1 por 3 para que os coeficientes de (3x - 3y + 6z - 3t) - (3x + y + 3z + t) = 0 - 0 fiquem iguais:
-4y + 3z - 4t = 0 (Nova Equação 4) çã
Agora, subtraímos a Equação 2 da Equação 1 multiplicada:
Simplificando:
çã
Passo 3
Vamos agora eliminar o (x - y - z - 5t) - (x - y + 2z - t) = 0 - 0 usando a Equação 1 e a Equação 3. Subtraímos a Equação 1 da Equação 3:
-3z - 4t = 0 (Nova Equação 5)
Simplificando:
çã
Passo 4
Agora temos um sistema menor com as Equações 4 e 5:
-4y + 3z - 4t = 0 -3z - 4t = 0
Vamos resolver a Equação 5 para -3z - 4t = 0 Rightarrow -3z = 4t Rightarrow z = -43t :
Passo 5
Com o valor de -4y + 3(-43t) - 4t = 0 Rightarrow -4y - 4t - 4t = 0 Rightarrow -4y - 8t = 0 em termos de -4y = 8t Rightarrow y = -2t , vamos substituir na Equação 4:
Resolvendo para :
Passo 6
Agora que temos x - y + 2z - t = 0 e x - (-2t) + 2(-43t) - t = 0 Rightarrow x + 2t - 83t - t = 0 em termos de x + 2t - 83t - t = x + (2 - 83 - 1)t = x - 53t = 0 , vamos voltar para a Equação 1 para encontrar x = 53t :
Substituindo e :
Simplificando:
Então:
Resposta
A solução do sistema é paramétrica, dependente de x = dfrac53t y = -2t z = -dfrac43t t = t . Podemos expressar as vari��veis da seguinte forma: