Fixada uma base E, verifique se os vetores são l.i. ou l.d., no caso dos vetores serem l.d. escreva um deles como combinação linear dos demais.
v1=(0,1,4), v2=(1,2,-1), v3=(5,8,0)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente verificar se os vetores v1 = (0,1,4), v2 = (1,2,-1) e v3 = (5,8,0) são linearmente independentes ou dependentes. Se eles forem dependentes, a gente precisa escrever um deles como uma combinação linear dos outros. Para isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz formada por esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
A = 0 & 1 & 5 1 & 2 & 8 4 & -1 & 0
Para verificar a independência linear, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes; se for zero, são dependentes.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de A:
det(A) = 0 cdot 2 & 8 -1 & 0 - 1 cdot 1 & 8 4 & 0 + 5 cdot 1 & 2 4 & -1
Calculando cada menor:
2 & 8 -1 & 0 = (2)(0) - (8)(-1) = 0 + 8 = 8
1 & 8 4 & 0 = (1)(0) - (8)(4) = 0 - 32 = -32
1 & 2 4 & -1 = (1)(-1) - (2)(4) = -1 - 8 = -9
Substituindo de volta:
det(A) = 0 cdot 8 - 1 cdot (-32) + 5 cdot (-9) = 0 + 32 - 45 = -13

Passo 4

Como o determinante det(A) = -13 é diferente de zero, isso significa que os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes. Ou seja, nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Resposta

Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes.

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