Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole e faça um esboço. Os vértices são
e
e as assíntotas têm equações
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida de uma hipérbole com os vértices em
e
, e as assíntotas dadas por
e
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre hipérboles, vértices e assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar algumas informações importantes. Os vértices da hipérbole são
e
, o que nos diz que o centro da hipérbole está no meio desses pontos. Para encontrar o centro, calculamos a média das coordenadas:
Então, o centro da hipérbole está na origem
.
Passo 3
Como os vértices estão alinhados ao longo do eixo
, sabemos que a hipérbole tem a equação na forma:
Como o centro é
, a equação simplifica para:
Aqui,
é a distância do centro até cada vértice.
Passo 4
Vamos encontrar o valor de
. Sabemos que os vértices estão em
e
, então a distância de cada vértice ao centro é
. Portanto,
e
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor de
. Para isso, vamos utilizar as equações das assíntotas. As assíntotas de uma hipérbole na forma que estamos usando são dadas por:
As equações das assíntotas fornecidas são
e
. Vamos reescrevê-las na forma
:
Comparando com
, temos:
Então,
e
.
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos substituir esses valores na equação da hipérbole:
Resposta
A equação reduzida da hipérbole é:
Esboço
Para esboçar a hipérbole:
- Centro:
- Vértices:
e - Assíntotas:
e
Desenhe os vértices no eixo
, trace as assíntotas passando pelo centro com os coeficientes dados, e desenhe as duas ramos da hipérbole abrindo para os lados, seguindo as assíntotas.
Exercícios relacionados
A nalise cada subconjunto dado abaixo e diga se são ou não um subespaço vetorial do
e de
com as operações usuais. Justifique sus resposta.
Especifique os focos e os vértices, e calcule a distância focal, as medidas dos eixos transverso e conjugado, e as equações das assíntotas das hipérboles abaixo.
Verifique se o
é um espaço vetorial, para as operações definidas abaixo.
Verifique se cada um dos subconjuntos
de
é subespaço vetorial de
?