Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole e faça um esboço. Os vértices são (-15,0) e (15,0) e as assíntotas têm equações 5 y-4 x=0 e 5 y+4 x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida de uma hipérbole com os vértices em (-15, 0) e (15, 0), e as assíntotas dadas por 5y - 4x = 0 e 5y + 4x = 0. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre hipérboles, vértices e assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar algumas informações importantes. Os vértices da hipérbole são (-15, 0) e (15, 0), o que nos diz que o centro da hipérbole está no meio desses pontos. Para encontrar o centro, calculamos a média das coordenadas:
Centro (h, k) = ( -15 + 152, 0 + 02 ) = (0, 0)
Então, o centro da hipérbole está na origem (0, 0).

Passo 3

Como os vértices estão alinhados ao longo do eixo x, sabemos que a hipérbole tem a equação na forma:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Como o centro é (0, 0), a equação simplifica para:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Aqui, a é a distância do centro até cada vértice.

Passo 4

Vamos encontrar o valor de a. Sabemos que os vértices estão em (-15, 0) e (15, 0), então a distância de cada vértice ao centro é 15. Portanto, a = 15 e a^2 = 225.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor de b. Para isso, vamos utilizar as equações das assíntotas. As assíntotas de uma hipérbole na forma que estamos usando são dadas por:
y = pm bax
As equações das assíntotas fornecidas são 5y - 4x = 0 e 5y + 4x = 0. Vamos reescrevê-las na forma y = mx:
5y - 4x = 0 Rightarrow y = 45x
5y + 4x = 0 Rightarrow y = -45x
Comparando com y = pm bax, temos:
ba = 45 Rightarrow b = a cdot 45 = 15 cdot 45 = 12
Então, b = 12 e b^2 = 144.

Passo 6

Agora que temos a^2 = 225 e b^2 = 144, podemos substituir esses valores na equação da hipérbole:
x^2225 - y^2144 = 1

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:
x^2225 - y^2144 = 1

Esboço

Para esboçar a hipérbole:
  1. Centro: (0, 0)
  2. Vértices: (-15, 0) e (15, 0)
  3. Assíntotas: y = 45x e y = -45x
Desenhe os vértices no eixo x, trace as assíntotas passando pelo centro com os coeficientes dados, e desenhe as duas ramos da hipérbole abrindo para os lados, seguindo as assíntotas.

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