Uma espira circular de uma volta e diâmetro de 3 cm está no plano z=0. Nesta região o campo magnético é girante, dado por B=0,05 sen(3 t) a y+0,05 cos (3 t) a z.
a) Determina e f.e.m. induzida na espira.
b) Reescreva a expressão que representa o campo magnético considerando o dobro da velocidade.
c) Para esse novo campo magnético, qual será a f.e.m. induzida?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de eletromagnetismo onde uma espira circular de 3 cm de diâmetro está no plano z=0. O campo magnético nessa região está mudando com o tempo e tem componentes nos eixos y e z. Nosso objetivo é:
a) Encontrar a f.e.m. induzida nessa espira.
b) Dobrar a velocidade do campo magnético e escrever a nova expressão.
c) Calcular a f.e.m. induzida com o campo magnético dobrado.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Faraday, que nos ajuda a encontrar a f.e.m. induzida em uma espira devido a uma variação no fluxo magnético. Vamos precisar entender conceitos como fluxo magnético, derivadas em relação ao tempo e aplicar essas ideias passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a f.e.m. induzida. De acordo com a Lei de Faraday, a f.e.m. induzida (ε) em uma espira é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético (Φ) que passa por ela. Matemáticamente, isso é dado por:
varepsilon = -dPhidt
Aqui, o sinal negativo indica a Lei de Lenz, que nos diz que a f.e.m. induzida age para contrariar a variação do fluxo magnético que a está produzindo.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo magnético (Φ) através da espira. O fluxo magnético é dado por:
Phi = integral B cdot dA
Como a espira é circular e o campo magnético está variando no tempo, precisamos integrar o produto do campo magnético pela área da espira.
Primeiro, calculamos a área (A) da espira:
Diâmetro = 3,cm Rightarrow Raio (r) = 32,cm = 1,5,cm = 0,015,m â
A = pi r^2 = pi (0,015)^2 approx 7,07 times 10^-4,m^2

Passo 4

O campo magnético dado é:
B = 0,05 sin(3t) ay + 0,05 cos(3t) az
A espira está no plano z=0, então o vetor área ( Phi = Bz cdot A = 0,05 cos(3t) cdot 7,07 times 10^-4 = 3,535 times 10^-5 cos(3t),Wb ) aponta na direção . Portanto, somente a componente do campo magnético na direção z contribui para o fluxo magnético:

Passo 5

Agora, aplicamos a Lei de Faraday para encontrar a f.e.m. induzida:
varepsilon = -dPhidt = -ddt (3,535 times 10^-5 cos(3t))
Calculando a derivada:
ddt cos(3t) = -3 sin(3t)
Portanto:
varepsilon = -3,535 times 10^-5 times (-3) sin(3t) = 1,0605 times 10^-4 sin(3t),V

Resposta

a) A f.e.m. induzida na espira é:
varepsilon = 1,06 times 10^-4 sin(3t),V

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