Uma onda eletromagnética, tem seu campo magnético dado por: B=10 cos (2 x-6 times 10^8 t+pi / 4) ay (T).
a) Qual a velocidade angular, número de onda e velocidade desta onda?
b) Calcule E nesta onda.
c) Qual a direção de propagação desta onda?
d) Qual a potência por m^2 carregada por essa onda na direção ax?
e) Qual a potência por m^2 carregada por essa onda na direção ay?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma onda eletromagnética onde o campo magnético é dado por:
B = 10 cos (2x - 6 times 10^8 t + pi4) ay , (T)
Vamos precisar entender de onde tiramos a velocidade angular, o número de onda, a velocidade da onda, o campo elétrico correspondente, a direção de propagação e a potência transportada por essa onda. Para isso, vamos usar conceitos de ondas eletromagnéticas, como a relação entre campo elétrico e magnético, e as fórmulas que ligam frequência, comprimento de onda e velocidade da luz.

Passo 2

Parte a) Qual a velocidade angular, número de onda e velocidade desta onda?
Primeiro, vamos identificar a velocidade angular ( cos(kx - omega t + phi) ) e o número de onda ( cos(2x - 6 times 10^8 t + pi4) ) a partir da expressão do campo magnético.
Na função cosseno, a expressão geral é:
k = 2 , rad/m omega = 6 times 10^8 , rad/s
Comparando com a nossa dada:
v = omegak
Podemos ver que:
Para encontrar a velocidade da onda ( ), usamos a relação:
Vamos calcular isso.

Passo 3

Calculando a velocidade da onda:
v = 6 times 10^8 , rad/s2 , rad/m = 3 times 10^8 , m/s
Isso faz sentido, porque a velocidade da luz no vácuo é aproximadamente , e ondas eletromagnéticas se propagam nessa velocidade no vácuo.

Passo 4

Parte b) Calcule E = cB nesta onda.
Sabemos que em uma onda eletromagnética no vácuo, os campos elétrico ( ) e magnético ( ) estão relacionados pela constante da velocidade da luz ( ):
Onde:
  • é a amplitude do campo magnético.
Vamos identificar a amplitude do campo magnético na expressão dada.

Passo 5

A expressão do campo magnético é:
B = 10 cos (2x - 6 times 10^8 t + pi4) ay , (T)
Aqui, a amplitude E = cB = 3 times 10^8 , m/s times 10 , T = 3 times 10^9 , V/m é 10 T.
Então, calculamos :

Passo 6

Parte c) Qual a direção de propagação desta onda?
Para determinar a direção de propagação, usamos a regra da mão direita para ondas eletromagnéticas. Os campos , e a direção de propagação formam um sistema tríplice ortogonal.
Dado que o campo magnético está na direção e o campo elétrico que calculamos está na direção (pois é proporcional a e a propagação está relacionada pelo vetor ), a direção de propagação será na direção .
Mas vamos verificar diretamente a expressão do cosseno: . O sinal negativo no termo indica que a onda se propaga na direção positiva de . Porém, considerando campos e definidos em e , a propagação ocorre na direção . Houve um equívoco inicial. Vamos corrigir.
Na verdade, o termo indica que a variação ocorre ao longo do eixo , e com campos em para e para , a onda se propaga na direção .

Passo 7

Parte d) Qual a potência por S = 1mu0 E times B carregada por essa onda na direção ?
A potência transportada por uma onda eletromagnética é dada pela densidade de potência, representada pelo vetor Poynting ( ), que é o produto vetorial dos campos elétrico e magnético:
Onde:
  • é a permeabilidade do vácuo.
Vamos calcular e encontrar sua componente na direção .

Passo 8

Primeiro, identificamos a direção dos campos:
E = E cos(2x - 6 times 10^8 t + pi4) az B = 10 cos(2x - 6 times 10^8 t + pi4) ay
Então:
E times B = E times 10 cos^2() (az times ay) = E times 10 cos^2() (-ax)
Então:
S = 1mu0 (-E times 10 cos^2()) ax = -E times 10mu0 cos^2() ax
A componente na direção Sx = -E times 10mu0 cos^2() é:
lang<= Sx rang<= = -E times 10mu0 times 12 = -E times 5mu0
No entanto, a potência efetiva média é o valor médio de lang<= Sx rang<= = -3 times 10^9 times 54pi times 10^-7 approx -1.5 times 10^101.2566 times 10^-6 approx -1.194 times 10^16 , W/m^2 , que é . Então:
Substituindo :
O sinal negativo indica a direção oposta a , mas como estamos interessados na potência por área, consideramos o valor absoluto.

Passo 9

Parte e) Qual a potência por carregada por essa onda na direção ?
Observando a expressão do vetor Poynting ( ), vimos que a potência está na direção . Portanto, na direção , não há componente de potência transportada pela onda eletromagnética.

Resposta

  • Potência por na direção :

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