Uma espira em forma de retângulo, da lados a e b, transporta uma corrente de intensidade I. (a) Calcule a magnitude do campo magnético no centro do retângulo. (b) Obtenha o resultado para o limite a gg b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma espira retangular com lados a e b, que está transportando uma corrente de intensidade I. O objetivo aqui é descobrir qual é a magnitude do campo magnético no centro desse retângulo. Depois, a gente vai ver o que acontece quando um dos lados, o a, é muito maior que o outro, o b. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Biot-Savart, que ajuda a calcular o campo magnético criado por correntes elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Biot-Savart, que nos diz que o campo magnético B gerado por um elemento de corrente é dado por:
dB = mu04pi I , dl times rr^3
onde:
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo,
  • I é a corrente,
  • dl é um elemento de comprimento do condutor,
  • r é o vetor que vai do elemento de corrente até o ponto onde estamos calculando o campo.

Passo 3

Como temos uma espira retangular, vamos calcular o campo magnético produzido por cada um dos quatro lados no centro do retângulo e depois somar tudo. Porém, pela simetria, os campos gerados pelos lados iguais vão ser iguais e na mesma direção, então podemos calcular para um lado e multiplicar por quatro.

Passo 4

Vamos focar em um lado de comprimento a. A distância do centro até esse lado é b/2. Usando a fórmula para o campo no centro de um segmento de reta com corrente, temos:
Ba = mu0 I4pi cdot 2a(a^2 + (b/2)^2)^3/2
Mas como estamos no centro e o campo de cada lado contribui na mesma direção, multiplicamos por dois para os lados +a e -a.

Passo 5

Fazendo isso para os quatro lados, mas lembrando que os campos dos lados de comprimento b terão uma contribuição diferente. No entanto, no centro, a contribuição dos lados b é perpendicular e se cancelam devido à simetria. Assim, o campo total é apenas a soma das contribuições dos lados a.

Passo 6

Portanto, juntando tudo, o campo magnético no centro é:
B = mu0 I a2pi (a^2 + b^2/4)^3/2

Passo 7

Agora, para a parte (b), onde a gg b, isso significa que o lado a é muito maior que b. Nesse caso, podemos simplificar a expressão porque a^2 gg b^2/4, então:
B approx mu0 I a2pi a^3 = mu0 I2pi a^2
Esse resultado mostra que, quando a é muito maior que b, o campo magnético no centro depende inversamente do quadrado de a.

Resposta

(a) O campo magnético no centro do retângulo é B = dfracmu0 I a2pi (a^2 + b^2/4)^3/2.
(b) No limite onde a gg b, o campo magnético no centro se aproxima de B approx dfracmu0 I2pi a^2.

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