Uma espira em forma de retângulo, da lados
e
, transporta uma corrente de intensidade
. (a) Calcule a magnitude do campo magnético no centro do retângulo. (b) Obtenha o resultado para o limite
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma espira retangular com lados
e
, que está transportando uma corrente de intensidade
. O objetivo aqui é descobrir qual é a magnitude do campo magnético no centro desse retângulo. Depois, a gente vai ver o que acontece quando um dos lados, o
, é muito maior que o outro, o
. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Biot-Savart, que ajuda a calcular o campo magnético criado por correntes elétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Biot-Savart, que nos diz que o campo magnético
gerado por um elemento de corrente é dado por:
onde:
-
é a permeabilidade do vácuo, -
é a corrente, -
é um elemento de comprimento do condutor, -
é o vetor que vai do elemento de corrente até o ponto onde estamos calculando o campo.
Passo 3
Como temos uma espira retangular, vamos calcular o campo magnético produzido por cada um dos quatro lados no centro do retângulo e depois somar tudo. Porém, pela simetria, os campos gerados pelos lados iguais vão ser iguais e na mesma direção, então podemos calcular para um lado e multiplicar por quatro.
Passo 4
Vamos focar em um lado de comprimento
. A distância do centro até esse lado é
. Usando a fórmula para o campo no centro de um segmento de reta com corrente, temos:
Mas como estamos no centro e o campo de cada lado contribui na mesma direção, multiplicamos por dois para os lados
e
.
Passo 5
Fazendo isso para os quatro lados, mas lembrando que os campos dos lados de comprimento
terão uma contribuição diferente. No entanto, no centro, a contribuição dos lados
é perpendicular e se cancelam devido à simetria. Assim, o campo total é apenas a soma das contribuições dos lados
.
Passo 6
Portanto, juntando tudo, o campo magnético no centro é:
Passo 7
Agora, para a parte (b), onde
, isso significa que o lado
é muito maior que
. Nesse caso, podemos simplificar a expressão porque
, então:
Esse resultado mostra que, quando
é muito maior que
, o campo magnético no centro depende inversamente do quadrado de
.
Resposta
(a) O campo magnético no centro do retângulo é
.
(b) No limite onde
, o campo magnético no centro se aproxima de
.