Mostre que as propriedades familiares para o logaritmo real continua valendo para o logaritmo complexo, ou seja:
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para mostrar que as propriedades que a gente conhece dos logaritmos reais também valem para os logaritmos de números complexos. Especificamente, queremos provar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é logaritmo complexo e como ele se comporta, além de usar algumas propriedades básicas dos logaritmos que já conhecemos dos números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o logaritmo complexo. Para um número complexo
, podemos escrever:
onde
é o módulo de
e
é o argumento de
. O logaritmo complexo de
é definido como:
Lembrando que, no caso complexo, o argumento
pode ter múltiplas soluções, diferindo de
múltiplos.
Passo 3
Vamos agora aplicar essa definição no lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
Usando a propriedade do logaritmo que log(a \cdot b) = log a + log b, temos:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a definição do logaritmo complexo nos termos
e
:
Subtraindo esses dois:
O que simplifica para:
Passo 5
Comparando as duas expressões que obtivemos:
e
Vemos que elas são iguais. Portanto, mostramos que:
Resposta
Demonstramos que
para logaritmos complexos, assim validando que as propriedades dos logaritmos reais também se aplicam no contexto complexo.