Mostre que as propriedades familiares para o logaritmo real continua valendo para o logaritmo complexo, ou seja: ln(z1 / z2) = ln(z1) - ln(z2)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para mostrar que as propriedades que a gente conhece dos logaritmos reais também valem para os logaritmos de números complexos. Especificamente, queremos provar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é logaritmo complexo e como ele se comporta, além de usar algumas propriedades básicas dos logaritmos que já conhecemos dos números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o logaritmo complexo. Para um número complexo , podemos escrever:
onde é o módulo de e é o argumento de . O logaritmo complexo de é definido como:
Lembrando que, no caso complexo, o argumento pode ter múltiplas soluções, diferindo de múltiplos.

Passo 3

Vamos agora aplicar essa definição no lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
Usando a propriedade do logaritmo que log(a \cdot b) = log a + log b, temos:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a definição do logaritmo complexo nos termos e :
Subtraindo esses dois:
O que simplifica para:

Passo 5

Comparando as duas expressões que obtivemos:
e
Vemos que elas são iguais. Portanto, mostramos que:

Resposta

Demonstramos que para logaritmos complexos, assim validando que as propriedades dos logaritmos reais também se aplicam no contexto complexo.

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