Seja theta in R. Encontre o núcleo da transformação linear T: R^2 longrightarrow R^2 dada por T(x, y)=(x cos (theta)- y sin (theta), x sin (theta)+y cos (theta)).

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar o núcleo da transformação linear T(x, y) = (x cos(theta) - y sin(theta), x sin(theta) + y cos(theta)) definida por
O conteúdo que vamos precisar envolve conceitos de transformações lineares e núcleos dessas transformações. Basicamente, o núcleo de é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero pela transformação .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear Núc<=o(T) = (x, y) in R^2 mid T(x, y) = (0, 0) é dado por:
T(x, y) = (0, 0) ú
Então, precisamos encontrar todos os pares que satisfazem a equação

Passo 3

Vamos escrever as equações que correspondem a x cos(theta) - y sin(theta) = 0, :
x sin(theta) + y cos(theta) = 0
Essas são duas equações lineares que precisamos resolver para encontrar e .

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
x cos(theta) - y sin(theta) = 0 x sin(theta) + y cos(theta) = 0
Podemos expressar isso em forma matricial como:
[
cos(theta) & -sin(theta) sin(theta) & cos(theta) x y = 0 0


]

Passo 5

Para que o sistema tenha soluções não triviais (além de det = cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1 e ), o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero. Vamos calcular o determinante:
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, a única solução é e .

Passo 6

Portanto, o único vetor que está no núcleo de Núc<=o(T) = (0, 0) é o vetor zero. Isso significa que:
ú

Resposta

O núcleo da transformação linear é .

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