Seja . Encontre o núcleo da transformação linear dada por .

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar o núcleo da transformação linear definida por
O conteúdo que vamos precisar envolve conceitos de transformações lineares e núcleos dessas transformações. Basicamente, o núcleo de é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero pela transformação .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear é dado por:
ú
Então, precisamos encontrar todos os pares que satisfazem a equação

Passo 3

Vamos escrever as equações que correspondem a :
Essas são duas equações lineares que precisamos resolver para encontrar e .

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:

Podemos expressar isso em forma matricial como:
[


]

Passo 5

Para que o sistema tenha soluções não triviais (além de e ), o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero. Vamos calcular o determinante:
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, a única solução é e .

Passo 6

Portanto, o único vetor que está no núcleo de é o vetor zero. Isso significa que:
ú

Resposta

O núcleo da transformação linear é .

Exercícios relacionados

Em cada parte, encontre a matriz aumentada do sistema de equações lineares dado.
c)
Estabeleça uma equação reduzida na variável da reta de interseção entre os planos.
35. Determine o ponto de interseção da reta com o plano .
Calcular .
Dadas as matrizes:
e
Calcular .
Dadas as matrizes:
e