Seja
. Encontre o núcleo da transformação linear
dada por
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar o núcleo da transformação linear
definida por
O conteúdo que vamos precisar envolve conceitos de transformações lineares e núcleos dessas transformações. Basicamente, o núcleo de
é o conjunto de todos os vetores
que são mapeados para o vetor zero pela transformação
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear
é dado por:
Então, precisamos encontrar todos os pares
que satisfazem a equação
Passo 3
Vamos escrever as equações que correspondem a
:
Essas são duas equações lineares que precisamos resolver para encontrar
e
.
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações:
Podemos expressar isso em forma matricial como:
[
]
Passo 5
Para que o sistema tenha soluções não triviais (além de
e
), o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero. Vamos calcular o determinante:
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, a única solução é
e
.
Passo 6
Portanto, o único vetor que está no núcleo de
é o vetor zero. Isso significa que:
Resposta
O núcleo da transformação linear
é
.
Exercícios relacionados
Em cada parte, encontre a matriz aumentada do sistema de equações lineares dado.
c)
c)
Estabeleça uma equação reduzida na variável
da reta de interseção entre os planos.
35. Determine o ponto de interseção da reta com o plano
.
35. Determine o ponto de interseção da reta
Calcular
.
Dadas as matrizes:
e
Dadas as matrizes:
Calcular
.
Dadas as matrizes:
e
Dadas as matrizes: