Seja um operador linear tal que todo é um autovetor. Mostre que existe tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que, se todo vetor no espaço é um autovetor do operador linear , então existe um número tal que para todo em . Isso está ligado a conceitos de operadores lineares e autovetores. Vamos usar a definição de operador linear e propriedades dos autovetores para resolver.
Passo 2
Primeiro, lembremos o que significa ser um operador linear. Isso quer dizer que, para quaisquer vetores e em e qualquer escalar , temos:
Também, sabemos que, todo é um autovetor de , ou seja, existe um escalar tal que:
Passo 3
Agora, vamos considerar dois vetores quaisquer e em . Como ambos são autovetores, temos:
Como é linear, aplicando em :
Mas, como também é um autovetor, existe um escalar tal que:
Passo 4
Igualando as duas expressões para :
Rearranjando termos:
Passo 5
Como e são vetores quaisquer e é um espaço vetorial, a única maneira dessa equação ser verdadeira para todos e é que os coeficientes sejam zero:
Ou seja:
Passo 6
Isso mostra que para quaisquer e em . Ou seja, todos os autovalores são iguais a um mesmo escalar .
Passo 7
Portanto, existe um único escalar tal que, para todo vetor em :