Seja um operador linear tal que todo é um autovetor. Mostre que existe tal que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que, se todo vetor no espaço é um autovetor do operador linear , então existe um número tal que para todo em . Isso está ligado a conceitos de operadores lineares e autovetores. Vamos usar a definição de operador linear e propriedades dos autovetores para resolver.

Passo 2

Primeiro, lembremos o que significa ser um operador linear. Isso quer dizer que, para quaisquer vetores e em e qualquer escalar , temos:
Também, sabemos que, todo é um autovetor de , ou seja, existe um escalar tal que:

Passo 3

Agora, vamos considerar dois vetores quaisquer e em . Como ambos são autovetores, temos:
Como é linear, aplicando em :
Mas, como também é um autovetor, existe um escalar tal que:

Passo 4

Igualando as duas expressões para :
Rearranjando termos:

Passo 5

Como e são vetores quaisquer e é um espaço vetorial, a única maneira dessa equação ser verdadeira para todos e é que os coeficientes sejam zero:
Ou seja:

Passo 6

Isso mostra que para quaisquer e em . Ou seja, todos os autovalores são iguais a um mesmo escalar .

Passo 7

Portanto, existe um único escalar tal que, para todo vetor em :

Resposta

Existe um escalar tal que, para todo , .

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Estabeleça equações reduzidas na variável para a reta que passa pelo ponto de interseção entre as retas
e é simultaneamente ortogonal a e .
Faça o escalonamento das matrizes abaixo:
©
Nos ítens seguintes determine quais as matrizes que são inversíveis. Em caso afirmativo determine a inversa.
(a)
Nos ítens seguintes determine quais as matrizes que são inversíveis. Em caso afirmativo determine a inversa.
(h)