Seja T: V V um operador linear tal que todo v in V é um autovetor. Mostre que existe lambda in K tal que T(v)=lambda v

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que, se todo vetor no espaço é um autovetor do operador linear , então existe um número tal que para todo em . Isso está ligado a conceitos de operadores lineares e autovetores. Vamos usar a definição de operador linear e propriedades dos autovetores para resolver.

Passo 2

Primeiro, lembremos o que significa T(u + v) = T(u) + T(v) e T(a v) = a T(v) ser um operador linear. Isso quer dizer que, para quaisquer vetores T(v) = lambdav v e em e qualquer escalar , temos:
Também, sabemos que, todo é um autovetor de , ou seja, existe um escalar tal que:

Passo 3

Agora, vamos considerar dois vetores quaisquer T(v) = lambdav v e T(w) = lambdaw w e T(v + w) = T(v) + T(w) = lambdav v + lambdaw w em T(v + w) = lambdav+w (v + w) . Como ambos são autovetores, temos:
Como é linear, aplicando em :
Mas, como também é um autovetor, existe um escalar tal que:

Passo 4

Igualando as duas expressões para lambdav v + lambdaw w = lambdav+w v + lambdav+w w :
(lambdav - lambdav+w) v + (lambdaw - lambdav+w) w = 0
Rearranjando termos:

Passo 5

Como lambdav - lambdav+w = 0 e lambdaw - lambdav+w = 0 e lambdav = lambdav+w e lambdaw = lambdav+w são vetores quaisquer e é um espaço vetorial, a única maneira dessa equação ser verdadeira para todos e é que os coeficientes sejam zero:
Ou seja:

Passo 6

Isso mostra que para quaisquer e em . Ou seja, todos os autovalores são iguais a um mesmo escalar .

Passo 7

Portanto, existe um único escalar T(v) = lambda v tal que, para todo vetor em :

Resposta

Existe um escalar tal que, para todo , .

Exercícios relacionados