Seja
um operador linear tal que todo
é um autovetor. Mostre que existe
tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que, se todo vetor
no espaço
é um autovetor do operador linear
, então existe um número
tal que
para todo
em
. Isso está ligado a conceitos de operadores lineares e autovetores. Vamos usar a definição de operador linear e propriedades dos autovetores para resolver.
Passo 2
Primeiro, lembremos o que significa
ser um operador linear. Isso quer dizer que, para quaisquer vetores
e
em
e qualquer escalar
, temos:
Também, sabemos que, todo
é um autovetor de
, ou seja, existe um escalar
tal que:
Passo 3
Agora, vamos considerar dois vetores quaisquer
e
em
. Como ambos são autovetores, temos:
Como
é linear, aplicando em
:
Mas, como
também é um autovetor, existe um escalar
tal que:
Passo 4
Igualando as duas expressões para
:
Rearranjando termos:
Passo 5
Como
e
são vetores quaisquer e
é um espaço vetorial, a única maneira dessa equação ser verdadeira para todos
e
é que os coeficientes sejam zero:
Ou seja:
Passo 6
Isso mostra que
para quaisquer
e
em
. Ou seja, todos os autovalores
são iguais a um mesmo escalar
.
Passo 7
Portanto, existe um único escalar
tal que, para todo vetor
em
:
Resposta
Existe um escalar
tal que, para todo
,
.