Estabeleça a integral tripla de uma função contínua arbitrária em coordenadas cilíndricas ou esféricas sobre cada um dos sólidos abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para estabelecer a integral tripla de uma função contínua usando coordenadas cilíndricas ou esféricas sobre alguns sólidos. Isso envolve entender como converter coordenadas cartesianas para cilíndricas ou esféricas e como definir os limites de integração para cada sólido específico. Para isso, vamos precisar saber qual sólido estamos analisando e escolher o sistema de coordenadas mais adequado para simplificar a integral.

Passo 2

Vamos começar com um exemplo de um sólido simples: um cilindro circular reto. Imagine que temos um cilindro com raio e altura . Nesse caso, as coordenadas cilíndricas são perfeitas para descrever o sólido, porque a simetria do cilindro se encaixa bem nesse sistema.

Passo 3

Nas coordenadas cilíndricas, as coordenadas cartesianas são convertidas para , onde:
  • é a distância do ponto ao eixo ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • permanece o mesmo.
A densidade do volume em coordenadas cilíndricas é dada por .

Passo 4

Para o cilindro com raio e altura , os limites de integração são:
  • varia de 0 a (porque o raio do cilindro vai até ),
  • varia de 0 a (fazendo uma volta completa ao redor do eixo ),
  • varia de 0 a (alcançando a altura total do cilindro).

Passo 5

Agora, vamos montar a integral tripla para a função sobre o cilindro:

Passo 6

Essa integral calcula o volume total ponderado pela função dentro do cilindro. A ordem das integrações pode ser alterada dependendo da função e da conveniência, mas nesse caso, usamos , e nessa sequência.

Passo 7

Vamos agora fazer um exemplo com coordenadas esféricas. Considere uma esfera de raio . As coordenadas esféricas são:
  • é a distância do ponto à origem,
  • é o ângulo polar (em relação ao eixo ),
  • é o ângulo azimutal (em relação ao eixo ).
O elemento de volume em coordenadas esféricas é .

Passo 8

Para a esfera de raio , os limites de integração são:
  • varia de 0 a ,
  • varia de 0 a ,
  • varia de 0 a .

Passo 9

A integral tripla na coordenada esférica fica assim:

Passo 10

Essa integral serve para calcular, por exemplo, o volume ou a massa de uma esfera com densidade dada pela função , aproveitando a simetria esférica para simplificar os cálculos.

Resposta

Estabelecemos as integrais triplas em coordenadas cilíndricas para um cilindro e em coordenadas esféricas para uma esfera:
  • Cilindro:
  • Esfera:

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