Estabeleça a integral tripla de uma função contínua arbitrária
em coordenadas cilíndricas ou esféricas sobre cada um dos sólidos abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para estabelecer a integral tripla de uma função contínua
usando coordenadas cilíndricas ou esféricas sobre alguns sólidos. Isso envolve entender como converter coordenadas cartesianas para cilíndricas ou esféricas e como definir os limites de integração para cada sólido específico. Para isso, vamos precisar saber qual sólido estamos analisando e escolher o sistema de coordenadas mais adequado para simplificar a integral.
Passo 2
Vamos começar com um exemplo de um sólido simples: um cilindro circular reto. Imagine que temos um cilindro com raio
e altura
. Nesse caso, as coordenadas cilíndricas são perfeitas para descrever o sólido, porque a simetria do cilindro se encaixa bem nesse sistema.
Passo 3
Nas coordenadas cilíndricas, as coordenadas cartesianas
são convertidas para
, onde:
-
é a distância do ponto ao eixo , -
é o ângulo em relação ao eixo , -
permanece o mesmo.
A densidade do volume em coordenadas cilíndricas é dada por
.
Passo 4
Para o cilindro com raio
e altura
, os limites de integração são:
-
varia de 0 a (porque o raio do cilindro vai até ), -
varia de 0 a (fazendo uma volta completa ao redor do eixo ), -
varia de 0 a (alcançando a altura total do cilindro).
Passo 5
Agora, vamos montar a integral tripla para a função
sobre o cilindro:
Passo 6
Essa integral calcula o volume total ponderado pela função
dentro do cilindro. A ordem das integrações pode ser alterada dependendo da função e da conveniência, mas nesse caso, usamos
,
e
nessa sequência.
Passo 7
Vamos agora fazer um exemplo com coordenadas esféricas. Considere uma esfera de raio
. As coordenadas esféricas
são:
-
é a distância do ponto à origem, -
é o ângulo polar (em relação ao eixo ), -
é o ângulo azimutal (em relação ao eixo ).
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
.
Passo 8
Para a esfera de raio
, os limites de integração são:
-
varia de 0 a , -
varia de 0 a , -
varia de 0 a .
Passo 9
A integral tripla na coordenada esférica fica assim:
Passo 10
Essa integral serve para calcular, por exemplo, o volume ou a massa de uma esfera com densidade dada pela função
, aproveitando a simetria esférica para simplificar os cálculos.
Resposta
Estabelecemos as integrais triplas em coordenadas cilíndricas para um cilindro e em coordenadas esféricas para uma esfera:
- Cilindro:
- Esfera:
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Quando
, temos a assíntota horizontal
. Quando
temos uma assíntota oblíqua. Por exemplo, a reta
é uma assíntota oblíqua de
, uma vez que
Verifique, nos itens abaixo, que a reta dada é uma assíntota da função
indicada:
(a) de
;
(a)
Nos problemas de 15 a 18 , encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada sem resolver a equação.
Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais
e
:
(d)
(d)
O wronskiano de duas funções é
. As funções são linearmente independentes ou linearmente dependentes? Por quê?