Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y :
(d) f(x, y)=x yx^2+y^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de em relação a e . Para isso, vamos precisar utilizar a regra do quociente na derivação parcial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de ddx(uv) = v cdot dudx - u cdot dvdxv^2 em relação a , ou seja, . A regra do quociente nos diz que, para uma função , a derivada é:

Passo 3

Aplicando a regra do quociente à nossa função:
u = x y e v = x^2 + y^2
Calculamos as derivadas necessárias:
partial upartial x = y e partial vpartial x = 2x

Passo 4

Substituindo na fórmula da regra do quociente:
partial fpartial x = (x^2 + y^2) cdot y - x y cdot 2x(x^2 + y^2)^2

Passo 5

Simplificando a expressão:
partial fpartial x = y(x^2 + y^2) - 2x^2y(x^2 + y^2)^2 = y y^2 - y x^2(x^2 + y^2)^2 = y(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = (x^2 + y^2) cdot partial upartial y - u cdot partial vpartial y(x^2 + y^2)^2 em relação a , ou seja, . Novamente, aplicamos a regra do quociente:

Passo 7

Calculando as derivadas necessárias:
partial upartial y = x e partial vpartial y = 2y

Passo 8

Substituindo na fórmula da regra do quociente:
partial fpartial y = (x^2 + y^2) cdot x - x y cdot 2y(x^2 + y^2)^2

Passo 9

Simplificando a expressão:
partial fpartial y = x(x^2 + y^2) - 2x y^2(x^2 + y^2)^2 = x x^2 - x y^2(x^2 + y^2)^2 = x(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^2

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = y(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2
e
partial fpartial y = x(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^2

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