Estabeleça um isomorfismo entre o espaço vetorial das matrizes simétricas
e o espaço das matrizes triangulares inferiores (
se
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente encontre um isomorfismo, ou seja, uma maneira de transformar uma coisa na outra sem perder informação, entre dois espaços de matrizes:
- Espaço das matrizes simétricas (
): São matrizes onde . - Espaço das matrizes triangulares inferiores: São matrizes onde
se .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como espaços vetoriais, dimensões e isomorfismos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se esses dois espaços têm a mesma dimensão. A dimensão de um espaço vetorial é o número de elementos na sua base, ou seja, o número de “direções” independentes nele.
-
Matrizes simétricas
:
Como, só precisamos considerar os elementos na diagonal e abaixo dela. Então, temos elementos independentes. -
Matrizes triangulares inferiores
:
Aqui, todos os elementos acima da diagonal são zero, então os elementos livres estão na diagonal e abaixo dela, tambémelementos.
Como as dimensões são iguais, sabemos que existe um isomorfismo entre esses espaços.
Passo 3
Agora, vamos construir esse isomorfismo. A ideia é mapear cada elemento livre de uma matriz simétrica para uma posição correspondente na matriz triangular inferior.
Vamos definir uma função
que pega uma matriz simétrica
e retorna uma matriz triangular inferior
da seguinte forma:
Ou seja,
simplesmente copia os elementos de
para
quando
e coloca zero caso contrário.
Passo 4
Para garantir que
é realmente um isomorfismo, precisamos verificar duas coisas:
- Linearidade:
preserva a adição e a multiplicação por escalar. - Bijetividade:
é injetora e sobrejetora.
- Linearidade: Se você tem duas matrizes
e e um escalar , então:
Isso é verdade porque a operação de copiar elementos mantém essas propriedades.
- Bijetividade:
- Injetora: Se
, então , já que os elementos na região onde copia são iguais. - Sobrejetora: Para qualquer matriz triangular inferior
, existe uma matriz simétrica tal que (basta definir com os mesmos elementos de na região e preencher o resto de forma simétrica).
- Injetora: Se
Resposta
Portanto, o isomorfismo entre o espaço das matrizes simétricas
e o espaço das matrizes triangulares inferiores é a função
definida por:
Essa transformação é linear, injetora e sobrejetora, estabelecendo assim o isomorfismo desejado.
Exercícios relacionados
Sejam
subespaços de
tais que
. Mostre que existe um operador linear
tal que
e
.
Sejam r e s duas retas reversas e
um ponto qualquer do espaço. Diga como obter: um par de planos paralelos contendo r e s, respectivamente;
Seja
um operador linear. Para quaisquer vetores
e
, prove que se tem
e
.
Sejam as transformações lineares
definida pela matriz
e
definida pela matriz
, onde
é a base canônica de
e
é a base canônica de
. Determine:
A expressão analítica de .
A expressão analítica de