Estabeleça um isomorfismo entre o espaço vetorial das matrizes simétricas e o espaço das matrizes triangulares inferiores ( se ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente encontre um isomorfismo, ou seja, uma maneira de transformar uma coisa na outra sem perder informação, entre dois espaços de matrizes:
  1. Espaço das matrizes simétricas ( ): São matrizes onde .
  2. Espaço das matrizes triangulares inferiores: São matrizes onde se .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como espaços vetoriais, dimensões e isomorfismos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se esses dois espaços têm a mesma dimensão. A dimensão de um espaço vetorial é o número de elementos na sua base, ou seja, o número de “direções” independentes nele.
  • Matrizes simétricas :
    Como , só precisamos considerar os elementos na diagonal e abaixo dela. Então, temos elementos independentes.
  • Matrizes triangulares inferiores :
    Aqui, todos os elementos acima da diagonal são zero, então os elementos livres estão na diagonal e abaixo dela, também elementos.
Como as dimensões são iguais, sabemos que existe um isomorfismo entre esses espaços.

Passo 3

Agora, vamos construir esse isomorfismo. A ideia é mapear cada elemento livre de uma matriz simétrica para uma posição correspondente na matriz triangular inferior.
Vamos definir uma função que pega uma matriz simétrica e retorna uma matriz triangular inferior da seguinte forma:
Ou seja, simplesmente copia os elementos de para quando e coloca zero caso contrário.

Passo 4

Para garantir que é realmente um isomorfismo, precisamos verificar duas coisas:
  1. Linearidade: preserva a adição e a multiplicação por escalar.
  2. Bijetividade: é injetora e sobrejetora.
  • Linearidade: Se você tem duas matrizes e e um escalar , então:
Isso é verdade porque a operação de copiar elementos mantém essas propriedades.
  • Bijetividade:
    • Injetora: Se , então , já que os elementos na região onde copia são iguais.
    • Sobrejetora: Para qualquer matriz triangular inferior , existe uma matriz simétrica tal que (basta definir com os mesmos elementos de na região e preencher o resto de forma simétrica).

Resposta

Portanto, o isomorfismo entre o espaço das matrizes simétricas e o espaço das matrizes triangulares inferiores é a função definida por:
Essa transformação é linear, injetora e sobrejetora, estabelecendo assim o isomorfismo desejado.

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A expressão analítica de .