Seja
um operador linear. Para quaisquer vetores
e
, prove que se tem
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre operadores lineares, especificamente um operador linear
. A gente precisa provar que se pegarmos um vetor
que está no Núcleo de
(ou seja,
) e um vetor
que está na Imagem de
(ou seja,
), então
também está no Núcleo de
e
está na Imagem de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são Núcleo e Imagem de um operador linear e usar propriedades básicas de operadores lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Núcleo de
. O Núcleo,
, é o conjunto de todos os vetores
em
tais que
. Ou seja:
Passo 3
Agora, a Imagem de
,
, é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor de
. Formalmente:
Passo 4
Vamos provar que
quando
. Sabemos que
, então por definição
. Agora, queremos mostrar que
.
Como
é linear:
Portanto,
está no Núcleo de
, porque
.
Passo 5
Agora, vamos provar que
quando
. Se
, então existe algum vetor
tais que
.
Aplicando
novamente:
Como
é linear, isso pode ser visto como:
Porque
é fechado sob a ação de
.
Resposta
Assim, mostramos que
quando
e que
quando
.
Exercícios relacionados
Estabeleça um isomorfismo entre o espaço vetorial das matrizes simétricas
e o espaço das matrizes triangulares inferiores (
se
).
Sejam
subespaços de
tais que
. Mostre que existe um operador linear
tal que
e
.
Sejam as transformações lineares
definida pela matriz
e
definida pela matriz
, onde
é a base canônica de
e
é a base canônica de
. Determine:
A expressão analítica de .
A expressão analítica de
Mostre que uma transformação linear
é sobrejetiva se, e somente se, transforma um conjunto de geradores de
num conjunto de geradores de
.