Seja um operador linear. Para quaisquer vetores e , prove que se tem e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre operadores lineares, especificamente um operador linear . A gente precisa provar que se pegarmos um vetor que está no Núcleo de (ou seja, ) e um vetor que está na Imagem de (ou seja, ), então também está no Núcleo de e está na Imagem de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são Núcleo e Imagem de um operador linear e usar propriedades básicas de operadores lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Núcleo de . O Núcleo, , é o conjunto de todos os vetores em tais que . Ou seja:

Passo 3

Agora, a Imagem de , , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Formalmente:

Passo 4

Vamos provar que quando . Sabemos que , então por definição . Agora, queremos mostrar que .
Como é linear:
Portanto, está no Núcleo de , porque .

Passo 5

Agora, vamos provar que quando . Se , então existe algum vetor tais que .
Aplicando novamente:
Como é linear, isso pode ser visto como:
Porque é fechado sob a ação de .

Resposta

Assim, mostramos que quando e que quando .

Exercícios relacionados

Estabeleça um isomorfismo entre o espaço vetorial das matrizes simétricas e o espaço das matrizes triangulares inferiores ( se ).
Sejam subespaços de tais que . Mostre que existe um operador linear tal que e .
Sejam as transformações lineares definida pela matriz e definida pela matriz , onde é a base canônica de e é a base canônica de . Determine:
A expressão analítica de .
Mostre que uma transformação linear é sobrejetiva se, e somente se, transforma um conjunto de geradores de num conjunto de geradores de .