Seja T: V V um operador linear. Para quaisquer vetores u in N(T) e v in Im(T), prove que se tem T(u) in N(T) e T(v) in Im(T).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre operadores lineares, especificamente um operador linear . A gente precisa provar que se pegarmos um vetor que está no Núcleo de (ou seja, ) e um vetor que está na Imagem de (ou seja, ), então também está no Núcleo de e está na Imagem de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são Núcleo e Imagem de um operador linear e usar propriedades básicas de operadores lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Núcleo de N(T) = u in V mid T(u) = 0 . O Núcleo, , é o conjunto de todos os vetores em tais que . Ou seja:

Passo 3

Agora, a Imagem de Im(T) = T(v) mid v in V , , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Formalmente:

Passo 4

Vamos provar que T(T(u)) = T(0) = 0 quando . Sabemos que , então por definição . Agora, queremos mostrar que .
Como é linear:
Portanto, está no Núcleo de , porque .

Passo 5

Agora, vamos provar que T(v) = T(T(w)) quando T(T(w)) in Im(T) . Se , então existe algum vetor tais que .
Aplicando novamente:
Como é linear, isso pode ser visto como:
Porque é fechado sob a ação de .

Resposta

Assim, mostramos que quando e que quando .

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