Sejam as transformações lineares T1: R^3 R^2 definida pela matriz [T1]beta^alpha=[ccc-1 & 1 & 0 1 & -1 & 12] e T2: R^2 R^2 definida pela matriz [T2]beta^beta=[ll1 & 2 3 & 4], onde alpha é a base canônica de R^3 e beta é a base canônica de R^2. Determine:
A expressão analítica de (T2 circ T1)(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas transformações lineares:
  1. [T1]beta^alpha = -1 & 1 & 0 1 & -1 & 12 , representada pela matriz [T2]beta^beta = 1 & 2 3 & 4
  2. , representada pela matriz
Aqui, é a base canônica de e é a base canônica de . A nossa missão é encontrar a expressão analítica de , que significa aplicar e depois .
Para isso, vamos precisar entender como compor essas transformações usando as matrizes dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a composição de duas transformações lineares [T2 circ T1] = [T2] cdot [T1] pode ser representada pela multiplicação das matrizes correspondentes. Ou seja:
Isso significa que vamos multiplicar a matriz de pela matriz de .

Passo 3

Vamos fazer a multiplicação das matrizes:
[T2]beta^beta = 1 & 2 3 & 4 , [T1]beta^alpha = -1 & 1 & 0 1 & -1 & 12
Multiplicando [T2 circ T1] = 1 & 2 3 & 4 cdot -1 & 1 & 0 1 & -1 & 12 :
(1)(-1) + (2)(1) = -1 + 2 = 1
Vamos calcular cada elemento da nova matriz resultante:
  • Elemento (1,1): (1)(1) + (2)(-1) = 1 - 2 = -1
  • Elemento (1,2): (1)(0) + (2)(12) = 0 + 1 = 1
  • Elemento (1,3): (3)(-1) + (4)(1) = -3 + 4 = 1
  • Elemento (2,1): (3)(1) + (4)(-1) = 3 - 4 = -1
  • Elemento (2,2): (3)(0) + (4)(12) = 0 + 2 = 2
  • Elemento (2,3): [T2 circ T1] = 1 & -1 & 1 1 & -1 & 2
Então, a matriz composta é:

Passo 4

Agora que temos a matriz da transformação composta, podemos escrever a expressão analítica de x y z . Lembre-se que, para uma transformação linear representada por uma matriz, a aplicação dessa matriz a um vetor (T2 circ T1)(x, y, z) = [T2 circ T1] cdot x y z = 1 & -1 & 1 1 & -1 & 2 cdot x y z é feita através da multiplicação matricial.
Então:
1 cdot x + (-1) cdot y + 1 cdot z = x - y + z
Calculando isso, temos:
  • Primeira componente: 1 cdot x + (-1) cdot y + 2 cdot z = x - y + 2z
  • Segunda componente:

Resposta

Então, a expressão analítica de (T2 circ T1)(x, y, z) = x - y + z x - y + 2z é:

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