Sejam as transformações lineares definida pela matriz e definida pela matriz , onde é a base canônica de e é a base canônica de . Determine:
A expressão analítica de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas transformações lineares:
1. , representada pela matriz
2. , representada pela matriz
Aqui, é a base canônica de e é a base canônica de . A nossa missão é encontrar a expressão analítica de , que significa aplicar e depois .
Para isso, vamos precisar entender como compor essas transformações usando as matrizes dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a composição de duas transformações lineares pode ser representada pela multiplicação das matrizes correspondentes. Ou seja:
Isso significa que vamos multiplicar a matriz de pela matriz de .
Passo 3
Vamos fazer a multiplicação das matrizes:
Multiplicando :
Vamos calcular cada elemento da nova matriz resultante:
- Elemento (1,1):
- Elemento (1,2):
- Elemento (1,3):
- Elemento (2,1):
- Elemento (2,2):
- Elemento (2,3):
Então, a matriz composta é:
Passo 4
Agora que temos a matriz da transformação composta, podemos escrever a expressão analítica de . Lembre-se que, para uma transformação linear representada por uma matriz, a aplicação dessa matriz a um vetor é feita através da multiplicação matricial.
Então:
Calculando isso, temos:
- Primeira componente:
- Segunda componente: