Sejam as transformações lineares definida pela matriz e definida pela matriz , onde é a base canônica de e é a base canônica de . Determine: A expressão analítica de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas transformações lineares: 1. , representada pela matriz 2. , representada pela matriz Aqui, é a base canônica de e é a base canônica de . A nossa missão é encontrar a expressão analítica de , que significa aplicar e depois . Para isso, vamos precisar entender como compor essas transformações usando as matrizes dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a composição de duas transformações lineares pode ser representada pela multiplicação das matrizes correspondentes. Ou seja: Isso significa que vamos multiplicar a matriz de pela matriz de .

Passo 3

Vamos fazer a multiplicação das matrizes: Multiplicando : Vamos calcular cada elemento da nova matriz resultante: - Elemento (1,1): - Elemento (1,2): - Elemento (1,3): - Elemento (2,1): - Elemento (2,2): - Elemento (2,3): Então, a matriz composta é:

Passo 4

Agora que temos a matriz da transformação composta, podemos escrever a expressão analítica de . Lembre-se que, para uma transformação linear representada por uma matriz, a aplicação dessa matriz a um vetor é feita através da multiplicação matricial. Então: Calculando isso, temos: - Primeira componente: - Segunda componente:

Resposta

Então, a expressão analítica de é:

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