Sejam F1, F2 subespaços de V tais que dim F1+dim F2=dim V. Mostre que existe um operador linear T: V V tal que F1=N(T) e F2=Im(T).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre álgebra linear e pede para mostrar que existe um operador linear que relaciona dois subespaços e de um espaço vetorial . A condição dada é que a soma das dimensões de e é igual à dimensão de . Para resolver isso, vamos usar conceitos como núcleo (ou espaço nulo) e imagem de um operador linear, além da relação entre as dimensões desses espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de um operador linear , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero. Já a imagem de , , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando em algum vetor de .

Passo 3

Sabemos também da Teoria Fundamental da Álgebra Linear que, para qualquer operador linear dim N(T) + dim Im(T) = dim V , a soma das dimensões do núcleo e da imagem de é igual à dimensão de :
No nosso caso, temos , o que sugere que podemos identificar com e com .

Passo 4

Para construir tal operador , precisamos garantir que todos os vetores em sejam mapeados para zero (para que ) e que todos os vetores em sejam alcançados por (para que ). Como e assumindo que , podemos afirmar que é a soma direta de e , ou seja, .

Passo 5

Agora, escolhemos uma base para que respeite essa decomposição. Seja uma base de e uma base de , onde . Em relação a essa base, podemos definir o operador de forma que:
  • para todo (já que está em )
  • para todo (garantindo que está dentro da imagem de )

Passo 6

Com essa definição, qualquer vetor T(v) = T(f + g) = T(f) + T(g) = 0 + g = g pode ser escrito como , onde e . Aplicando , temos:
Isso mostra que a imagem de é exatamente e o núcleo de é , conforme queríamos demonstrar.

Resposta

Existe, sim, um operador linear definido de forma que e .

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