Sejam
subespaços de
tais que
. Mostre que existe um operador linear
tal que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre álgebra linear e pede para mostrar que existe um operador linear
que relaciona dois subespaços
e
de um espaço vetorial
. A condição dada é que a soma das dimensões de
e
é igual à dimensão de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos como núcleo (ou espaço nulo) e imagem de um operador linear, além da relação entre as dimensões desses espaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de um operador linear
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores em
que são mapeados para o vetor zero. Já a imagem de
,
, é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
em algum vetor de
.
Passo 3
Sabemos também da Teoria Fundamental da Álgebra Linear que, para qualquer operador linear
, a soma das dimensões do núcleo e da imagem de
é igual à dimensão de
:
No nosso caso, temos
, o que sugere que podemos identificar
com
e
com
.
Passo 4
Para construir tal operador
, precisamos garantir que todos os vetores em
sejam mapeados para zero (para que
) e que todos os vetores em
sejam alcançados por
(para que
). Como
e assumindo que
, podemos afirmar que
é a soma direta de
e
, ou seja,
.
Passo 5
Agora, escolhemos uma base para
que respeite essa decomposição. Seja
uma base de
e
uma base de
, onde
. Em relação a essa base, podemos definir o operador
de forma que:
-
para todo (já que está em ) -
para todo (garantindo que está dentro da imagem de )
Passo 6
Com essa definição, qualquer vetor
pode ser escrito como
, onde
e
. Aplicando
, temos:
Isso mostra que a imagem de
é exatamente
e o núcleo de
é
, conforme queríamos demonstrar.
Resposta
Existe, sim, um operador linear
definido de forma que
e
.
Exercícios relacionados
Sejam r e s duas retas reversas e
um ponto qualquer do espaço. Diga como obter: um par de planos paralelos contendo r e s, respectivamente;
Suponha que os planos
e
têm exatamente um ponto em comum. Existe uma reta que seja simultaneamente paralela a
e
?
Estabeleça um isomorfismo entre o espaço vetorial das matrizes simétricas
e o espaço das matrizes triangulares inferiores (
se
).
Seja
um operador linear. Para quaisquer vetores
e
, prove que se tem
e
.