Uma partícula com carga -q é movida desde um ponto muito distante, onde o potencial é nulo, até um ponto próximo a um dipolo elétrico. Qual(is) é(são) a(s) a posição(ões) final(is) da partícula para que o trabalho realizado pela força elétrica sobre ela seja nulo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre mover uma partícula com carga
de um ponto muito longe, onde o potencial elétrico é zero, até perto de um dipolo elétrico. O conteúdo envolvido aqui é o potencial elétrico devido a um dipolo e como calcular o trabalho realizado pela força elétrica. Para resolver, a gente vai precisar entender a fórmula do potencial de um dipolo e encontrar onde esse potencial é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula do potencial elétrico
criado por um dipolo elétrico em um ponto qualquer no espaço. O dipolo tem um momento dipolar
e a posição do ponto onde queremos calcular o potencial é dada pelo vetor
. A fórmula é:
Aqui,
é a constante de permissividade do vácuo,
é o momento dipolar, e
é a distância do ponto ao dipolo.
Passo 3
Agora, o trabalho realizado pela força elétrica ao mover a carga
de um ponto onde o potencial é zero (infinito) até o ponto final é dado por:
Queremos que esse trabalho seja nulo, ou seja,
. Isso significa que o potencial
no ponto final deve ser zero.
Passo 4
Então, vamos igualar a expressão do potencial a zero:
Como
e
são sempre diferentes de zero, a única forma dessa equação ser verdadeira é se o produto escalar
for igual a zero.
Passo 5
O produto escalar
significa que os vetores
e
são perpendiculares entre si. Ou seja, a posição final da partícula deve estar em um ponto onde a linha que liga o ponto ao dipolo forma um ângulo de 90 graus com o momento dipolar.
Passo 6
Visualizando isso no espaço, os pontos onde o potencial é zero estão em um plano perpendicular ao momento dipolar
e que passa pelo centro do dipolo. Portanto, esses são os pontos onde a força elétrica não realiza trabalho ao mover a carga
.
Resposta
A posição final da partícula deve estar em qualquer ponto do plano perpendicular ao eixo do dipolo elétrico e que passa pelo centro do dipolo. Nessas posições, o trabalho realizado pela força elétrica sobre a carga
é nulo.
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e
funções de
:
(a)
(b) .
(a)
(b)
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. Determine a amplitude e a freqüência do movimento.
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