Estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que sejam compatíveis os sistemas.
а)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir qual condição os termos independentes , e devem satisfazer para que o sistema de equações seja compatível, ou seja, que tenha pelo menos uma solução. Vamos usar o conteúdo de sistemas lineares e, mais especificamente, métodos de resolução como a regra de Cramer ou a análise da consistência do sistema através de determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações dado:
4x + 12y + 8z = a 2x + 5y + 3z = b -4y - 4z = c
Observamos que temos três equações com três incógnitas: , e .
Passo 3
Para verificar se o sistema é compatível, podemos usar o método dos determinantes. Vamos montar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante.
A matriz dos coeficientes é:
4 & 12 & 8 2 & 5 & 3 0 & -4 & -4
Passo 4
Calculando o determinante dessa matriz:
De
Simplificando:
De
De
De
Passo 5
O determinante da matriz dos coeficientes é zero (), o que indica que o sistema pode ser compatível ou incompatível, dependendo dos termos independentes , e .
Passo 6
Para que o sistema seja compatível, o determinante ampliado também deve ser zero. Isso significa que as equações devem ser dependentes entre si. Vamos formar a matriz aumentada e verificar essa condição.
A matriz aumentada é:
4 & 12 & 8 & a 2 & 5 & 3 & b 0 & -4 & -4 & c
Passo 7
Calculamos o determinante ampliado da matriz aumentada da seguinte forma:
De
Simplificando:
De
De
De
Passo 8
Para que o sistema seja compatível, o determinante ampliado deve ser igual a zero:
-8a + 32 = 0
-8a = -32
a = 4
Resposta
A condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que o sistema seja compatível é .