Estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que sejam compatíveis os sistemas.
а) 4 x+12 y+8 z & =a 2 x+5 y+3 z & =b -4 y-4 z & =c

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir qual condição os termos independentes , e devem satisfazer para que o sistema de equações seja compatível, ou seja, que tenha pelo menos uma solução. Vamos usar o conteúdo de sistemas lineares e, mais especificamente, métodos de resolução como a regra de Cramer ou a análise da consistência do sistema através de determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações dado:
4x + 12y + 8z = a 2x + 5y + 3z = b -4y - 4z = c
Observamos que temos três equações com três incógnitas: , e .

Passo 3

Para verificar se o sistema é compatível, podemos usar o método dos determinantes. Vamos montar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante.
A matriz dos coeficientes é:
4 & 12 & 8 2 & 5 & 3 0 & -4 & -4

Passo 4

Calculando o determinante dessa matriz:
De
Simplificando:
De
De
De

Passo 5

O determinante da matriz dos coeficientes é zero ( ), o que indica que o sistema pode ser compatível ou incompatível, dependendo dos termos independentes , e .

Passo 6

Para que o sistema seja compatível, o determinante ampliado também deve ser zero. Isso significa que as equações devem ser dependentes entre si. Vamos formar a matriz aumentada e verificar essa condição.
A matriz aumentada é:
4 & 12 & 8 & a 2 & 5 & 3 & b 0 & -4 & -4 & c

Passo 7

Calculamos o determinante ampliado da matriz aumentada da seguinte forma:
De
Simplificando:
De
De
De

Passo 8

Para que o sistema seja compatível, o determinante ampliado deve ser igual a zero:
-8a + 32 = 0
-8a = -32
a = 4

Resposta

A condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que o sistema seja compatível é .

Exercícios relacionados

Determine n in N tal que 5 Z cap 7 Z=n Z.
Determine, se existir, a inversa de cada matriz abaixo:
(a) A=(ll4 & 2 7 & 6)
Se p é um número primo positivo, quais são os ideais de Zp ?
Considere as matrizes
A=[cc 1 & -2 3 & 1 7 & -4 5 & 9 ], B=[cccc 1 & 3 & -5 & 7 6 & 2 & -8 & 3 ] e C=[cccc 1 & 7 & 3 & -8 -3 & -1 & -1 & -3 4 & 1 & 9 & 0 5 & 3 & 2 & -3 ]
Calcular B A.