Se é um número primo positivo, quais são os ideais de ?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A pergunta é: “Se é um número primo positivo, quais são os ideais de ?” Aqui, estamos lidando com teoria dos anéis, especificamente com os ideais em um anel. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que são ideais e como eles se comportam em anéis específicos, como .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um ideal. Em álgebra, um ideal de um anel é um subconjunto de que é fechado sob adição e também, para qualquer elemento em e em , o produto está em . Basicamente, os ideais são como “blocos de construção” dentro dos anéis que nos ajudam a entender suas estruturas internas.
Passo 3
Agora, vamos focar em . Este é o conjunto dos inteiros módulo , ou seja, os números de até com operações de adição e multiplicação definidas módulo . Quando é um número primo, se torna um corpo, o que significa que todo elemento diferente de zero tem um inverso multiplicativo.
Passo 4
Em um corpo, os únicos ideais que existem são o ideal trivial e o próprio corpo. O ideal trivial é o conjunto que contém apenas o elemento zero, denotado por . O outro ideal possível é o próprio anel ou corpo, que neste caso é inteiro.
Passo 5
Portanto, como é um corpo quando é primo, os únicos ideais que ele possui são o ideal trivial e completo. Não há outros subconjuntos que satisfaçam as propriedades necessárias para serem ideais em um corpo.