Se
é um número primo positivo, quais são os ideais de
?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A pergunta é: “Se
é um número primo positivo, quais são os ideais de
?” Aqui, estamos lidando com teoria dos anéis, especificamente com os ideais em um anel. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que são ideais e como eles se comportam em anéis específicos, como
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um ideal. Em álgebra, um ideal de um anel
é um subconjunto
de
que é fechado sob adição e também, para qualquer elemento
em
e
em
, o produto
está em
. Basicamente, os ideais são como “blocos de construção” dentro dos anéis que nos ajudam a entender suas estruturas internas.
Passo 3
Agora, vamos focar em
. Este é o conjunto dos inteiros módulo
, ou seja, os números de
até
com operações de adição e multiplicação definidas módulo
. Quando
é um número primo,
se torna um corpo, o que significa que todo elemento diferente de zero tem um inverso multiplicativo.
Passo 4
Em um corpo, os únicos ideais que existem são o ideal trivial e o próprio corpo. O ideal trivial é o conjunto que contém apenas o elemento zero, denotado por
. O outro ideal possível é o próprio anel ou corpo, que neste caso é
inteiro.
Passo 5
Portanto, como
é um corpo quando
é primo, os únicos ideais que ele possui são o ideal trivial
e
completo. Não há outros subconjuntos que satisfaçam as propriedades necessárias para serem ideais em um corpo.
Resposta
Os ideais de
são o ideal trivial
e o próprio
.