Estabelecer uma condição sobre e para que os seguintes sistemas sejam compatíveis:
(i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou um sistema de equações lineares com três incógnitas e três equações. A gente precisa descobrir quais valores de e fazem esse sistema ter pelo menos uma solução, ou seja, ser compatível. Para resolver isso, vamos usar álgebra linear, especificamente operações com matrizes para simplificar o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita as operações que vamos fazer. A matriz aumentada fica assim:
4 & 12 & 8 & | & a 2 & 5 & 3 & | & b 0 & -4 & -4 & | & c
Passo 3
Vamos começar simplificando a primeira coluna. Observamos que o segundo elemento da primeira coluna é 2, que é a metade de 4. Então, podemos substituir a segunda linha pela segunda linha menos metade da primeira linha para eliminar o R2 = R2 - 12R1 da segunda equação.
4 & 12 & 8 & | & a 0 & -1 & -1 & | & b - a2 0 & -4 & -4 & | & c
Então, a nova matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a segunda e a terceira linhas para eliminar R3 = R3 + 4R2 . Observamos que a segunda linha tem 0 + 4(0) = 0 -4 + 4(-1) = -4 -4 = -8 -4 + 4(-1) = -4 -4 = -8 c + 4(b - a2) = c + 4b - 2a no lugar de 4 & 12 & 8 & | & a 0 & -1 & -1 & | & b - a2 0 & -8 & -8 & | & c + 4b - 2a . Podemos multiplicar a segunda linha por 4 e somar à terceira linha para eliminar da terceira equação.
Calculando:
Então, a nova matriz fica:
Passo 5
Observamos que a terceira linha agora tem R3 = 1-8R3 . Podemos simplificar dividindo toda a terceira linha por 0, 1, 1, | , -c + 4b - 2a8 :
Para que o sistema seja compatível, a segunda linha não pode resultar em uma equação impossível, como b2 - a4 - c8 = 0 onde 4b - 2a - c = 0 é diferente de zero. Portanto, precisamos que o lado direito da segunda linha seja igual a zero:
Multiplicando tudo por 8 para eliminar os denominadores:
Resposta
Para que o sistema seja compatível, os valores de 4b - 2a - c = 0 e devem satisfazer a condição: