Estabelecer uma condição sobre a, b e c para que os seguintes sistemas sejam compatíveis:
(i) l4 x+12 y+8 z=a 2 x+5 y+3 z=b 0 x-4 y-4 z=c

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou um sistema de equações lineares com três incógnitas e três equações. A gente precisa descobrir quais valores de e fazem esse sistema ter pelo menos uma solução, ou seja, ser compatível. Para resolver isso, vamos usar álgebra linear, especificamente operações com matrizes para simplificar o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita as operações que vamos fazer. A matriz aumentada fica assim:
4 & 12 & 8 & | & a 2 & 5 & 3 & | & b 0 & -4 & -4 & | & c

Passo 3

Vamos começar simplificando a primeira coluna. Observamos que o segundo elemento da primeira coluna é 2, que é a metade de 4. Então, podemos substituir a segunda linha pela segunda linha menos metade da primeira linha para eliminar o R2 = R2 - 12R1 da segunda equação.
R2 = (2) - 12(4) = 0 5 - 12(12) = 5 - 6 = -1 3 - 12(8) = 3 - 4 = -1 b - 12a = b - a2
Calculando:
4 & 12 & 8 & | & a 0 & -1 & -1 & | & b - a2 0 & -4 & -4 & | & c
Então, a nova matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda e a terceira linhas para eliminar R3 = R3 + 4R2 . Observamos que a segunda linha tem 0 + 4(0) = 0 -4 + 4(-1) = -4 -4 = -8 -4 + 4(-1) = -4 -4 = -8 c + 4(b - a2) = c + 4b - 2a no lugar de 4 & 12 & 8 & | & a 0 & -1 & -1 & | & b - a2 0 & -8 & -8 & | & c + 4b - 2a . Podemos multiplicar a segunda linha por 4 e somar à terceira linha para eliminar da terceira equação.
Calculando:
Então, a nova matriz fica:

Passo 5

Observamos que a terceira linha agora tem R3 = 1-8R3 . Podemos simplificar dividindo toda a terceira linha por 0, 1, 1, | , -c + 4b - 2a8 :
4 & 12 & 8 & | & a 0 & -1 & -1 & | & b - a2 0 & 1 & 1 & | & -c + 4b - 2a8
Calculando:
Então, a nova matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos somar a segunda e a terceira linhas para eliminar R2 = R2 + R3 :
0 + 0 = 0 -1 + 1 = 0 -1 + 1 = 0 b - a2 - c + 4b - 2a8
Calculando:
b - a2 - c8 - 4b8 + 2a8 = b - a2 - c8 - b2 + a4 = b2 - a4 - c8
Simplificando o lado direito:
4 & 12 & 8 & | & a 0 & 0 & 0 & | & b2 - a4 - c8 0 & 1 & 1 & | & -c + 4b - 2a8
Então, a nova matriz fica:

Passo 7

Para que o sistema seja compatível, a segunda linha não pode resultar em uma equação impossível, como b2 - a4 - c8 = 0 onde 4b - 2a - c = 0 é diferente de zero. Portanto, precisamos que o lado direito da segunda linha seja igual a zero:
Multiplicando tudo por 8 para eliminar os denominadores:

Resposta

Para que o sistema seja compatível, os valores de 4b - 2a - c = 0 e devem satisfazer a condição:

Exercícios relacionados

Sejam as matrizes A=[ccc2 & -1 & 3 0 & 4 & 5 -2 & 1 & 4] e B=[ccc1 & -3 & -5 0 & 1 & 2 4 & 3 & 6]
Caso exista uma matriz C nas condições dadas, calcule seu traço:
(c) (B^2-3 C)^t=B^t A^t
Resolva por escalonamento e classifique os sistemas lineares ^1 :
(ii) cx+2 y+3 z=10 3 x+4 y+6 z=23 3 x+2 y+3 z=10 2 x+2 x+4 z=13
Resolva por escalonamento e classifique os sistemas lineares ^1 :
(i) l5 x+8 y=34 10 x+16 y=50
Estabelecer uma condição sobre a, b e c para que os seguintes sistemas sejam compatíveis:
(ii) cx+y-z=a -x+0 y+2 z=b 0 x+y-z=c