Sejam as matrizes e B=[ccc1 & -3 & -5 0 & 1 & 2 4 & 3 & 6]
Caso exista uma matriz C nas condições dadas, calcule seu traço:
(c) (B^2-3 C)^t=B^t A^t
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá duas matrizes (B^2 - 3C)^t = B^t A^t e e pede para calcular o traço da matriz que satisfaz a seguinte equação:
Aqui, estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com operações de matrizes como transposição, multiplicação e cálculo de traço. Para resolver, vamos precisar lembrar de algumas propriedades dessas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
(B^2 - 3C)^t = B^t A^t
O que significa ? É simplesmente a matriz multiplicada por ela mesma, ou seja, . O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal.
Passo 3
Vamos aplicar a propriedade da transposição de matrizes que diz que a transposta de uma soma é a soma das transpostas, e a transposta de um produto é o produto das transpostas na ordem inversa. Assim:
(B^2 - 3C)^t = (B^2)^t - (3C)^t = (B times B)^t - 3C^t = B^t times B^t - 3C^t
Então, temos:
B^t times B^t - 3C^t = B^t A^t
Passo 4
Vamos isolar B^t times B^t - B^t A^t = 3C^t na equação:
C^t = B^t times B^t - B^t A^t3
Dividindo ambos os lados por 3:
Passo 5
Sabemos que o traço de uma matriz é igual ao traço da sua transposta, ou seja, tr(C) = tr(B^t times B^t) - tr(B^t A^t)3 . Então, podemos calcular o traço de da seguinte forma:
Passo 6
Lembrando que tr(C) = tr(B^2) - tr(A B)3 e , temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular B^2 = B times B = 1 & -3 & -5 0 & 1 & 2 4 & 3 & 6 times 1 & -3 & -5 0 & 1 & 2 4 & 3 & 6 = 1 times 1 + (-3) times 0 + (-5) times 4 & cdots & cdots cdots & cdots & cdots cdots & cdots & cdots e .
Primeiro, calculamos :
Calculando todos os termos, obtemos . Depois, calculamos o traço somando os elementos da diagonal principal.
Em seguida, calculamos o produto e, em seguida, o traço da mesma maneira.
Passo 8
Após realizar os cálculos, vamos supor que encontramos: