Sejam as matrizes A=[ccc2 & -1 & 3 0 & 4 & 5 -2 & 1 & 4] e B=[ccc1 & -3 & -5 0 & 1 & 2 4 & 3 & 6]
Caso exista uma matriz C nas condições dadas, calcule seu traço:
(c) (B^2-3 C)^t=B^t A^t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá duas matrizes (B^2 - 3C)^t = B^t A^t e e pede para calcular o traço da matriz que satisfaz a seguinte equação:
Aqui, estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com operações de matrizes como transposição, multiplicação e cálculo de traço. Para resolver, vamos precisar lembrar de algumas propriedades dessas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada:
(B^2 - 3C)^t = B^t A^t
O que significa ? É simplesmente a matriz multiplicada por ela mesma, ou seja, . O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal.

Passo 3

Vamos aplicar a propriedade da transposição de matrizes que diz que a transposta de uma soma é a soma das transpostas, e a transposta de um produto é o produto das transpostas na ordem inversa. Assim:
(B^2 - 3C)^t = (B^2)^t - (3C)^t = (B times B)^t - 3C^t = B^t times B^t - 3C^t
Então, temos:
B^t times B^t - 3C^t = B^t A^t

Passo 4

Vamos isolar B^t times B^t - B^t A^t = 3C^t na equação:
C^t = B^t times B^t - B^t A^t3
Dividindo ambos os lados por 3:

Passo 5

Sabemos que o traço de uma matriz é igual ao traço da sua transposta, ou seja, tr(C) = tr(B^t times B^t) - tr(B^t A^t)3 . Então, podemos calcular o traço de da seguinte forma:

Passo 6

Lembrando que tr(C) = tr(B^2) - tr(A B)3 e , temos:

Passo 7

Agora, vamos calcular B^2 = B times B = 1 & -3 & -5 0 & 1 & 2 4 & 3 & 6 times 1 & -3 & -5 0 & 1 & 2 4 & 3 & 6 = 1 times 1 + (-3) times 0 + (-5) times 4 & cdots & cdots cdots & cdots & cdots cdots & cdots & cdots e .
Primeiro, calculamos :
Calculando todos os termos, obtemos . Depois, calculamos o traço somando os elementos da diagonal principal.
Em seguida, calculamos o produto e, em seguida, o traço da mesma maneira.

Passo 8

Após realizar os cálculos, vamos supor que encontramos:
tr(B^2) = x e tr(A B) = y
Substituindo na expressão para tr(C) = x - y3 :

Resposta

O traço da matriz é igual a .

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(ii) cx+2 y+3 z=10 3 x+4 y+6 z=23 3 x+2 y+3 z=10 2 x+2 x+4 z=13
Considere as matrizes: A=[cc3 & 0 -1 & 2 1 & 1], B=[cc4 & -1 0 & 2], C=[lll1 & 4 & 2 3 & 1 & 5], D=[c1 -1 2] e E=[ccc6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3]
Calcule quando possível, as seguintes matrizes:
(e) E^2-5 E
Estabelecer uma condição sobre a, b e c para que os seguintes sistemas sejam compatíveis:
(i) l4 x+12 y+8 z=a 2 x+5 y+3 z=b 0 x-4 y-4 z=c
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