Estabelecer a expressão da distribuição teórica de temperaturas na alheta, .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para estabelecer a expressão da distribuição teórica de temperaturas na alheta, . Isso está relacionado ao estudo de transferência de calor, mais especificamente à condução de calor em uma alheta (ou aleta). Para resolver, vamos precisar entender como o calor se distribui ao longo da alheta e usar algumas equações básicas de condução térmica.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que a alheta é uma extensão de um material condutor de calor e que está trocando calor com o ambiente através de convecção. Isso significa que o calor está sendo dissipada ao longo da alheta e também para o ar ao redor dela.
Passo 3
A equação básica que descreve a distribuição de temperatura em uma alheta é derivada da equação de condução de calor para estado estacionário, sem geração interna de calor:
Aqui:
é a temperatura na posição ao longo da alheta.
é o coeficiente de transferência de calor por convecção.
é o perímetro da seção transversal da alheta.
é a condutividade térmica do material da alheta.
é a área da seção transversal.
é a temperatura do ambiente.
Passo 4
Simplificando a equação, definimos um parâmetro chamado de taxa de resfriamento da alheta:
Então, a equação fica:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. A solução geral para essa equação é dada por:
Onde e são constantes que determinamos a partir das condições de contorno da alheta.
Passo 6
Normalmente, temos duas condições de contorno:
Na base da alheta (), a temperatura é conhecida e igual a .
No final da alheta (), assumimos que o calor é perdido apenas por convecção, ou a temperatura tende a .
Aplicando a primeira condição (, ):
Passo 7
Aplicando a segunda condição (, e assumindo que a derivada da temperatura em é proporcional à diferença de temperatura):
Isso nos dá outra equação para resolver as constantes C1 e C2.
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações, encontramos:
C1 = C2 = T0 - Tinfty2
Passo 9
Substituindo C1 e C2 na solução geral, temos:
T(x) = Tinfty + T0 - Tinfty2 ( e^mx + e^-mx )
Passo 10
Podemos simplificar usando funções hiperbólicas:
T(x) = Tinfty + (T0 - Tinfty) cosh(mx)
Onde cosh(mx) = e^mx + e^-mx2.
Resposta
A expressão da distribuição teórica de temperaturas na alheta é: