Estabelecer a expressão da distribuição teórica de temperaturas na alheta, T(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para estabelecer a expressão da distribuição teórica de temperaturas na alheta, T(x). Isso está relacionado ao estudo de transferência de calor, mais especificamente à condução de calor em uma alheta (ou aleta). Para resolver, vamos precisar entender como o calor se distribui ao longo da alheta e usar algumas equações básicas de condução térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que a alheta é uma extensão de um material condutor de calor e que está trocando calor com o ambiente através de convecção. Isso significa que o calor está sendo dissipada ao longo da alheta e também para o ar ao redor dela.

Passo 3

A equação básica que descreve a distribuição de temperatura em uma alheta é derivada da equação de condução de calor para estado estacionário, sem geração interna de calor:
d^2Tdx^2 - hPkA (T - Tinfty) = 0
Aqui:
  • T(x) é a temperatura na posição x ao longo da alheta.
  • h é o coeficiente de transferência de calor por convecção.
  • P é o perímetro da seção transversal da alheta.
  • k é a condutividade térmica do material da alheta.
  • A é a área da seção transversal.
  • Tinfty é a temperatura do ambiente.

Passo 4

Simplificando a equação, definimos um parâmetro chamado de taxa de resfriamento da alheta:
m^2 = hPkA
Então, a equação fica:
d^2Tdx^2 - m^2 (T - Tinfty) = 0

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. A solução geral para essa equação é dada por:
T(x) = Tinfty + C1 e^mx + C2 e^-mx
Onde C1 e C2 são constantes que determinamos a partir das condições de contorno da alheta.

Passo 6

Normalmente, temos duas condições de contorno:
  1. Na base da alheta ( x=0), a temperatura é conhecida e igual a T0.
  2. No final da alheta ( x=L), assumimos que o calor é perdido apenas por convecção, ou a temperatura tende a Tinfty.
Aplicando a primeira condição ( x=0, T(0) = T0):
T0 = Tinfty + C1 + C2

Passo 7

Aplicando a segunda condição ( x=L, e assumindo que a derivada da temperatura em x=L é proporcional à diferença de temperatura):
dTdxg|x=L = -m (T(L) - Tinfty)
Isso nos dá outra equação para resolver as constantes C1 e C2.

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações, encontramos:
C1 = C2 = T0 - Tinfty2

Passo 9

Substituindo C1 e C2 na solução geral, temos:
T(x) = Tinfty + T0 - Tinfty2 ( e^mx + e^-mx )

Passo 10

Podemos simplificar usando funções hiperbólicas:
T(x) = Tinfty + (T0 - Tinfty) cosh(mx)
Onde cosh(mx) = e^mx + e^-mx2.

Resposta

A expressão da distribuição teórica de temperaturas na alheta é:
T(x) = Tinfty + (T0 - Tinfty) cosh(m x)
Onde m = raizhPkA.

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