Estabelecer a expressão para o número de Froude, se ele é uma função da velocidade
, da aceleração da gravidade
e do comprimento
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a expressão para o número de Froude, que é uma função da velocidade
, da aceleração da gravidade
e do comprimento
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre dimensionamento adimensional e como relacionar essas grandezas físicas usando as fórmulas certas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o número de Froude. Ele é usado principalmente na engenharia naval e em fluidos para comparar as forças inerciais e as forças gravitacionais que atuam em um fluxo. Basicamente, ele nos dá uma ideia de como a velocidade de um fluido está relacionada ao seu comprimento característico e à gravidade.
Passo 3
Para estabelecer a expressão, vamos usar a técnica de análise dimensional. Queremos que o número de Froude seja adimensional, ou seja, sem unidades. Isso significa que a combinação de
,
e
deve cancelar todas as unidades.
Passo 4
Vamos supor que o número de Froude
pode ser expresso como uma combinação de
,
e
com certos expoentes. Então, temos:
Onde
é uma constante adimensional e
,
,
são os expoentes que precisamos determinar.
Passo 5
Agora, vamos escrever as dimensões de cada grandeza:
- Velocidade
: - Aceleração da gravidade
: - Comprimento
:
Passo 6
Como
é adimensional, suas dimensões são
. Então, a combinação dimensional na expressão deve ser igual a 1:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
→
Substituindo na primeira equação:
Escolhendo
para simplificar, temos
e
.
Passo 8
Substituindo os valores de
,
e
na expressão original: