Estabelecer a expressão para o número de Froude, se ele é uma função da velocidade , da aceleração da gravidade e do comprimento .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a expressão para o número de Froude, que é uma função da velocidade , da aceleração da gravidade e do comprimento . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre dimensionamento adimensional e como relacionar essas grandezas físicas usando as fórmulas certas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o número de Froude. Ele é usado principalmente na engenharia naval e em fluidos para comparar as forças inerciais e as forças gravitacionais que atuam em um fluxo. Basicamente, ele nos dá uma ideia de como a velocidade de um fluido está relacionada ao seu comprimento característico e à gravidade.

Passo 3

Para estabelecer a expressão, vamos usar a técnica de análise dimensional. Queremos que o número de Froude seja adimensional, ou seja, sem unidades. Isso significa que a combinação de , e deve cancelar todas as unidades.

Passo 4

Vamos supor que o número de Froude pode ser expresso como uma combinação de , e com certos expoentes. Então, temos:
Onde é uma constante adimensional e , , são os expoentes que precisamos determinar.

Passo 5

Agora, vamos escrever as dimensões de cada grandeza:
  • Velocidade :
  • Aceleração da gravidade :
  • Comprimento :

Passo 6

Como é adimensional, suas dimensões são . Então, a combinação dimensional na expressão deve ser igual a 1:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Escolhendo para simplificar, temos e .

Passo 8

Substituindo os valores de , e na expressão original:

Resposta

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Resp.: .
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Resp.: .
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