Uma massa de 1 kg de corante é despejada em um canal de 10 m^2 em um local designado como x=0. A jusante, em x=L=100 m, a concentração do corante é medida. O teste é repetido para três taxas de fluxo diferentes, u=0,001,0,1,1 m / s. Para simplificar, o coeficiente de difusão é D=1 m^2 / s para cada condição.
c) Calcule o pico de concentração para esses casos.

Passo 1

Entendendo a Questão e os Conceitos Envolvidos
Então, vamos lá! A questão pede para calcular o pico de concentração de corante em um canal para três diferentes velocidades de fluxo. Estamos lidando com transporte de massa, mais especificamente com os processos de advecção (movimento do corante pelo fluxo) e difusão (dispersão do corante devido ao movimento aleatório das partículas).
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de advecção-difusão, que descreve como a concentração de uma substância se distribui no espaço e no tempo quando há tanto movimento pelo fluxo quanto dispersão.

Passo 2

Identificando os Dados e as Fórmulas Necessárias
Primeiro, vamos listar os dados fornecidos:
  • Massa de corante despejada, $ M = 1 $ kg
  • Área do canal, $ A = 10 , m^2 $
  • Distância até o ponto de medição, $ L = 100 , m $
  • Coeficiente de difusão, $ D = 1 , m^2/s $
  • Velocidades de fluxo, $ u = 0,001 $, $ 0,1 $ e $ 1 , m/s $
A fórmula que vamos usar para encontrar a concentração $ C $ em um ponto $ x $ e tempo $ t $ é:
M = 1
Nosso objetivo é encontrar o pico dessa concentração no ponto $ x = L $, ou seja, $ C_{max}(L) $.

Passo 3

Encontrando o Tempo em que a Concentração é Máxima
Para localizar o pico de concentração, precisamos determinar o tempo $ t_p $ em que $ C(L, t) $ é máxima. Para isso, derivamos $ C $ em relação a $ t $ e igualamos a zero:
tp
Após realizar os cálculos (que envolvem derivadas e simplificações), descobrimos que o pico de concentração ocorre quando o tempo $ t_p $ é igual ao tempo que o fluxo leva para chegar ao ponto de medição, ou seja:
C(L, t)

Passo 4

Calculando a Concentração Máxima
Substituindo $ t_p = \frac{L}{u} $ na fórmula da concentração, temos:
tp = Lu
Agora, vamos calcular $ C_{max} $ para cada velocidade de fluxo.

Passo 5

Aplicando os Valores para Cada Caso
Vamos substituir os valores na equação $ C_{max} = \frac{M}{A} \sqrt{\frac{u}{4 \pi D L}} $:
  1. Para $ u = 0,001 , m/s $:
Cmax = MA raizu4 pi D L
  1. Para $ u = 0,1 , m/s $:
u = 0,001 , m/s
  1. Para $ u = 1 , m/s $:
Cmax = 110 raiz0,0014 pi times 1 times 100 approx 0,000089 , kg/m^3

Resposta

Os picos de concentração para as diferentes taxas de fluxo são aproximadamente:
  • Para $ u = 0,001 , m/s $: $ C_{max} \approx 0,000089 , kg/m^3 $
  • Para $ u = 0,1 , m/s $: $ C_{max} \approx 0,00089 , kg/m^3 $
  • Para $ u = 1 , m/s $: $ C_{max} \approx 0,00282 , kg/m^3 $

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