Numa estação de monitoramento de qualidade de água foi medido uma concentração máxima de uma substância tóxica de 0,20 mg / l. A estação se localiza a 60 km a jusante do local de lançamento. O rio pode ser caracterizado com os seguintes parâmetros: velocidade média, U= 0,36 m / s, profundidade, h=1,1 m, largura, B=45 m. A descarga pode ser considerada com uma fonte instantânea distribuída em toda a área da seção do rio. A solução é:
C=MA raiz4 pi D t exp [-(x-U t)^24 D t]
d) Construa um gráfico da distribuição espacial nos tempos 1 h , 10h, 30h e 50h depois da descarga em um único gráfico (use o Excel, Matlab ou Octave).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um monitoramento de qualidade da água num rio. Mediram que a concentração máxima de uma substância tóxica foi de 0,20 mg/L numa estação que fica a 60 km a jusante do ponto onde a substância foi descartada. A gente vai usar conceitos de difusão e advecção para entender como essa substância se espalha no rio ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula que descreve a concentração $ C $ da substância em função da distância $ x $ e do tempo $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos entendar a fórmula que a gente vai usar:
C = MA raiz4 pi D t exp [-(x - U t)^24 D t]
Aqui:
  • $ C $ é a concentração da substância.
  • $ M $ é a massa total descartada.
  • $ A $ é a área da seção do rio.
  • $ D $ é o coeficiente de difusão.
  • $ U $ é a velocidade média do rio.
  • $ x $ é a distância a jusante.
  • $ t $ é o tempo após o descarte.
Vamos precisar calcular $ D $ e $ A $ com os dados fornecidos.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a área $ A $ da seção do rio. Sabemos que a largura $ B = 45 $ m e a profundidade $ h = 1,1 $ m. Então:
A ²

Passo 4

Agora, precisamos do coeficiente de difusão $ D $. Geralmente, $ D $ para rios pode variar, mas se não for fornecido, podemos assumir um valor típico. Vamos supor que $ D = 10 , m²/s $ para este exercício.

Passo 5

Precisamos também da massa total $ M $ descartada. O enunciado não fornece isso diretamente, mas sabemos que a concentração máxima $ C_{max} = 0,20 , mg/L $. Vamos supor que a massa dissipada se mantém constante. Para simplificar, vamos considerar $ M = C_{max} \times A \times L $, onde $ L = 60 , km = 60.000 , m $:
M ²³

Passo 6

Agora, vamos calcular $ C $ para os tempos de 1 hora, 10 horas, 30 horas e 50 horas. Primeiro, convertamos horas para segundos:
  • 1 hora = 3600 s
  • 10 horas = 36.000 s
  • 30 horas = 108.000 s
  • 50 horas = 180.000 s
Vamos usar a velocidade $ U = 0,36 , m/s $.

Passo 7

Vamos escolher alguns pontos $ x $ ao longo do rio para calcular $ C $. Por exemplo, de 0 a 100 km, em intervalos de 10 km. Lembrando que 60 km é o ponto de medição.

Passo 8

Com todos os valores prontos, podemos agora usar a fórmula para calcular $ C $ em cada ponto $ x $ e tempo $ t $. Vamos inserir esses valores no Excel, Matlab ou Octave para plotar o gráfico.

Passo 9

No Excel, por exemplo, você pode criar uma tabela com as colunas para $ x $ e para cada tempo (1h, 10h, 30h, 50h). Em cada célula, insira a fórmula de $ C $ com os valores correspondentes de $ x $ e $ t $. Depois, selecione os dados e insira um gráfico de linhas, assim você terá todas as distribuições no mesmo gráfico.

Resposta

Você deve obter um gráfico que mostra quatro curvas, cada uma representando a distribuição espacial da concentração da substância tóxica nos tempos de 1h, 10h, 30h e 50h após o descarte. As curvas vão indicar como a concentração se espalha e diminui ao longo do rio com o passar do tempo.

Anexo: Exemplo de Código Matlab

Se preferir usar Matlab, aqui está um exemplo de como você pode fazer:
% Parâmetros
U = 0.36; % m/s
h = 1.1; % m
B = 45; % m
A = B * h; % Área da seção
D = 10; % m²/s
M = 594; % kg
x = linspace(0, 100000, 1000); % x de 0 a 100 km
t_hours = [1, 10, 30, 50];
t_seconds = t_hours * 3600;

% Conversão de M para mg
M_mg = M * 1e6; % kg para mg

% Prealoca matriz para C
C = zeros(length(t_seconds), length(x));

for i = 1:length(t_seconds)
    t = t_seconds(i);
    C(i, :) = (M_mg) / (A * sqrt(4 * pi * D * t)) .* exp(-((x - U * t).^2) / (4 * D * t));
end

% Plot
figure;
hold on;
plot(x/1000, C(1,:), 'DisplayName','1h');
plot(x/1000, C(2,:), 'DisplayName','10h');
plot(x/1000, C(3,:), 'DisplayName','30h');
plot(x/1000, C(4,:), 'DisplayName','50h');
xlabel('Distância a jusante (km)');
ylabel('Concentração (mg/L)');
title('Distribuição Espacial da Concentração ao Longo do Tempo');
legend;
hold off;
Esse código cria um gráfico com a concentração da substância em diferentes tempos, facilitando a visualização de como ela se dispersa no rio.

Exercícios relacionados

Uma massa de 1 kg de corante é despejada em um canal de 10 m^2 em um local designado como x=0. A jusante, em x=L=100 m, a concentração do corante é medida. O teste é repetido para três taxas de fluxo diferentes, u=0,001,0,1,1 m / s. Para simplificar, o coeficiente de difusão é D=1 m^2 / s para cada condição.
c) Calcule o pico de concentração para esses casos.
Numa estação de monitoramento de qualidade de água foi medido uma concentração máxima de uma substância tóxica de 0,20 mg / l. A estação se localiza a 60 km a jusante do local de lançamento. O rio pode ser caracterizado com os seguintes parâmetros: velocidade média, U= 0,36 m / s, profundidade, h=1,1 m, largura, B=45 m. A descarga pode ser considerada com uma fonte instantânea distribuída em toda a área da seção do rio. A solução é:
C=MA raiz4 pi D t exp [-(x-U t)^24 D t]
c) Construa um gráfico da distribuição temporal da concentração na posição da estação de monitoramento (se recomenda usar o Excel, Matlab ou Octave).
Uma massa de 1 kg de corante é despejada em um canal de 10 m^2 em um local designado como x=0. A jusante, em x=L=100 m, a concentração do corante é medida. O teste é repetido para três taxas de fluxo diferentes, u=0,001,0,1,1 m / s. Para simplificar, o coeficiente de difusão é D=1 m^2 / s para cada condição.
a) Para cada caso, estime as escalas de tempo de advecção e difusão e o número de Peclet.
Numa estação de monitoramento de qualidade de água foi medido uma concentração máxima de uma substância tóxica de 0,20 mg / l. A estação se localiza a 60 km a jusante do local de lançamento. O rio pode ser caracterizado com os seguintes parâmetros: velocidade média, U= 0,36 m / s, profundidade, h=1,1 m, largura, B=45 m. A descarga pode ser considerada com uma fonte instantânea distribuída em toda a área da seção do rio. A solução é:
C=MA raiz4 pi D t exp [-(x-U t)^24 D t]
b) Calcule a massa que foi lançada neste caso em kg. Considere neste caso, D=35,71 m^2 / s.