Uma massa de 1 kg de corante é despejada em um canal de 10 m^2 em um local designado como x=0. A jusante, em x=L=100 m, a concentração do corante é medida. O teste é repetido para três taxas de fluxo diferentes, u=0,001,0,1,1 m / s. Para simplificar, o coeficiente de difusão é D=1 m^2 / s para cada condição.
a) Para cada caso, estime as escalas de tempo de advecção e difusão e o número de Peclet.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como uma certa quantidade de corante se espalha em um canal de água. A gente precisa calcular duas escalas de tempo: uma relacionada ao movimento da água (isso é a advecção) e outra relacionada ao espalhamento do corante por causa da difusão. Além disso, vamos calcular o número de Peclet, que é uma maneira de comparar essas duas influências. Para isso, vamos usar as fórmulas da advecção, difusão e do número de Peclet.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a escala de tempo de advecção, que é basicamente o tempo que a água leva para levar o corante do ponto de despejo até o ponto de medição. A fórmula é:
tadv = Lu
Onde:
  • $ L = 100 , m $ é a distância que o corante percorre.
  • $ u $ é a velocidade da água.
Vamos calcular isso para cada velocidade de fluxo:
  1. Para $ u = 0,001 , m/s $:
    L = 100 , m
  2. Para $ u = 0,1 , m/s $:
    u
  3. Para $ u = 1 , m/s $:
    u = 0,001 , m/s

Passo 3

Agora, vamos calcular a escala de tempo de difusão, que é o tempo que o corante leva para se espalhar devido à difusão. A fórmula é:
tdiff = L^2D
Onde:
  • $ L = 100 , m $ é a distância.
  • $ D = 1 , m^2/s $ é o coeficiente de difusão.
Calculando:
L = 100 , m
Esse valor é o mesmo para todas as velocidades, já que a difusão não depende da velocidade da água.

Passo 4

Por fim, vamos calcular o número de Peclet ($ Pe $), que nos diz qual é mais influente: a advecção ou a difusão. A fórmula é:
Pe
Vamos calcular para cada velocidade:
  1. Para $ u = 0,001 , m/s $:
    Pe = tadvtdiff = u cdot LD
  2. Para $ u = 0,1 , m/s $:
    u = 0,001 , m/s
  3. Para $ u = 1 , m/s $:
    Pe = 0,001 times 1001 = 0,1
Um número de Peclet baixo (Menor que 1) indica que a difusão domina, enquanto um número alto (Maior que 1) mostra que a advecção é mais importante.

Resposta

Para cada taxa de fluxo $ u $:
$ u $ (m/s) $ t_{adv} $ (s) $ t_{diff} $ (s) $ Pe $
0,001 100000 10000 0,1
0,1 1000 10000 10
1 100 10000 100
Isso mostra que, conforme a velocidade da água aumenta, a advecção passa a dominar mais a difusão no transporte do corante.

Exercícios relacionados

Numa estação de monitoramento de qualidade de água foi medido uma concentração máxima de uma substância tóxica de 0,20 mg / l. A estação se localiza a 60 km a jusante do local de lançamento. O rio pode ser caracterizado com os seguintes parâmetros: velocidade média, U= 0,36 m / s, profundidade, h=1,1 m, largura, B=45 m. A descarga pode ser considerada com uma fonte instantânea distribuída em toda a área da seção do rio. A solução é:
C=MA raiz4 pi D t exp [-(x-U t)^24 D t]
d) Construa um gráfico da distribuição espacial nos tempos 1 h , 10h, 30h e 50h depois da descarga em um único gráfico (use o Excel, Matlab ou Octave).
Uma massa de 1 kg de corante é despejada em um canal de 10 m^2 em um local designado como x=0. A jusante, em x=L=100 m, a concentração do corante é medida. O teste é repetido para três taxas de fluxo diferentes, u=0,001,0,1,1 m / s. Para simplificar, o coeficiente de difusão é D=1 m^2 / s para cada condição.
c) Calcule o pico de concentração para esses casos.
Numa estação de monitoramento de qualidade de água foi medido uma concentração máxima de uma substância tóxica de 0,20 mg / l. A estação se localiza a 60 km a jusante do local de lançamento. O rio pode ser caracterizado com os seguintes parâmetros: velocidade média, U= 0,36 m / s, profundidade, h=1,1 m, largura, B=45 m. A descarga pode ser considerada com uma fonte instantânea distribuída em toda a área da seção do rio. A solução é:
C=MA raiz4 pi D t exp [-(x-U t)^24 D t]
b) Calcule a massa que foi lançada neste caso em kg. Considere neste caso, D=35,71 m^2 / s.
Dada a equação abaixo explique o significado físico de cada um dos seus termos
partial Npartial t) Sistema =partialpartial t integralforall C rho eta d forall+integralS C rho eta eta V cdot d A