Uma massa de 1 kg de corante é despejada em um canal de
um local designado como
. A jusante, em
, a concentração do corante é medida. O teste é repetido para três taxas de fluxo diferentes,
. Para simplificar, o coeficiente de difusão é
para cada condição.
a) Para cada caso, estime as escalas de tempo de advecção e difusão e o número de Peclet.
a) Para cada caso, estime as escalas de tempo de advecção e difusão e o número de Peclet.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como uma certa quantidade de corante se espalha em um canal de água. A gente precisa calcular duas escalas de tempo: uma relacionada ao movimento da água (isso é a advecção) e outra relacionada ao espalhamento do corante por causa da difusão. Além disso, vamos calcular o número de Peclet, que é uma maneira de comparar essas duas influências. Para isso, vamos usar as fórmulas da advecção, difusão e do número de Peclet.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a escala de tempo de advecção, que é basicamente o tempo que a água leva para levar o corante do ponto de despejo até o ponto de medição. A fórmula é:
Onde:
- $ L = 100 , m $ é a distância que o corante percorre.
- $ u $ é a velocidade da água.
Vamos calcular isso para cada velocidade de fluxo:
-
Para $ u = 0,001 , m/s $:
-
Para $ u = 0,1 , m/s $:
-
Para $ u = 1 , m/s $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a escala de tempo de difusão, que é o tempo que o corante leva para se espalhar devido à difusão. A fórmula é:
Onde:
- $ L = 100 , m $ é a distância.
- $ D = 1 , m^2/s $ é o coeficiente de difusão.
Calculando:
Esse valor é o mesmo para todas as velocidades, já que a difusão não depende da velocidade da água.
Passo 4
Por fim, vamos calcular o número de Peclet ($ Pe $), que nos diz qual é mais influente: a advecção ou a difusão. A fórmula é:
Vamos calcular para cada velocidade:
-
Para $ u = 0,001 , m/s $:
-
Para $ u = 0,1 , m/s $:
-
Para $ u = 1 , m/s $:
Um número de Peclet baixo (Menor que 1) indica que a difusão domina, enquanto um número alto (Maior que 1) mostra que a advecção é mais importante.
Resposta
Para cada taxa de fluxo $ u $:
$ u $ (m/s) | $ t_{adv} $ (s) | $ t_{diff} $ (s) | $ Pe $ |
---|---|---|---|
0,001 | 100000 | 10000 | 0,1 |
0,1 | 1000 | 10000 | 10 |
1 | 100 | 10000 | 100 |
Isso mostra que, conforme a velocidade da água aumenta, a advecção passa a dominar mais a difusão no transporte do corante.
Exercícios relacionados
Numa estação de monitoramento de qualidade de água foi medido uma concentração máxima de uma substância tóxica de
. A estação se localiza a 60 km a jusante do local de lançamento. O rio pode ser caracterizado com os seguintes parâmetros: velocidade média,
, profundidade,
, largura,
. A descarga pode ser considerada com uma fonte instantânea distribuída em toda a área da seção do rio. A solução é:
d) Construa um gráfico da distribuição espacial nos tempos 1 h , 10h, 30h e 50h depois da descarga em um único gráfico (use o Excel, Matlab ou Octave).
Uma massa de 1 kg de corante é despejada em um canal de
um local designado como
. A jusante, em
, a concentração do corante é medida. O teste é repetido para três taxas de fluxo diferentes,
. Para simplificar, o coeficiente de difusão é
para cada condição.
c) Calcule o pico de concentração para esses casos.
c) Calcule o pico de concentração para esses casos.
Numa estação de monitoramento de qualidade de água foi medido uma concentração máxima de uma substância tóxica de
. A estação se localiza a 60 km a jusante do local de lançamento. O rio pode ser caracterizado com os seguintes parâmetros: velocidade média,
, profundidade,
, largura,
. A descarga pode ser considerada com uma fonte instantânea distribuída em toda a área da seção do rio. A solução é:
b) Calcule a massa que foi lançada neste caso em kg. Considere neste caso,
.
Dada a equação abaixo explique o significado físico de cada um dos seus termos