(a) Qual quantidade de energia é requerida para mover um elétron no hidrogênio do estado
para o
? (b) Suponha que o átomo ganhe essa energia por meio de colisões entre os átomos de hidrogênio a uma alta temperatura. A qual temperatura a energia cinética atômica média
seria grande o suficiente para excitar o elétron? Neste caso,
é a constante de Boltzmann.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. No item (a), queremos descobrir quanta energia é necessária para mover um elétron no átomo de hidrogênio do estado $ n = 1 $ para o estado $ n = 2 $. Aqui, estamos lidando com os níveis de energia do átomo de hidrogênio, e vamos precisar usar a fórmula que descreve esses níveis. No item (b), queremos relacionar essa energia com a temperatura, usando a energia cinética média dos átomos, que envolve a constante de Boltzmann $ k_B $.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a). Para encontrar a energia necessária para mover o elétron de $ n = 1 $ para $ n = 2 $, usamos a fórmula dos níveis de energia do átomo de hidrogênio:
Aqui, $ E_n $ é a energia do nível $ n
n = 1 $).
Passo 3
Calculamos a energia do estado $ n = 1 $:
E a energia do estado $ n = 2 $:
Passo 4
A energia requerida para a transição do estado $ n = 1 $ para $ n = 2 $ é a diferença entre essas energias:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar a temperatura $ T $ em que a energia cinética média dos átomos, dada por $ \frac{3}{2} k_B T $, seja igual à energia necessária para excitar o elétron, que calculamos como 10,2 eV.
Primeiro, igualamos as duas expressões:
Passo 6
Para resolver essa equação para $ T $, precisamos converter 10,2 eV para joules, já que a constante de Boltzmann $ k_B $ é geralmente dada em $ J/K $. Sabemos que:
Então:
Passo 7
Agora, substituímos na equação:
Sabendo que $ k_B = 1,381 \times 10^{-23}, J/K $, isolamos $ T $:
Resposta
(a) A energia requerida é de aproximadamente $ 10,2, eV $.
(b) A temperatura necessária é cerca de $ 7,89 \times 10^{4}, K $.
(b) A temperatura necessária é cerca de $ 7,89 \times 10^{4}, K $.