No estado fundamental de um átomo de um elétron, qual é a probabilidade para encontrar o elétron localizado entre x=0 e x=a0 ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um átomo com um elétron no seu estado fundamental, ou seja, na configuração mais estável possível. A pergunta é: qual a probabilidade desse elétron estar entre os pontos e ?
Aqui, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre a função de onda do elétron e como calcular probabilidades a partir dela.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber qual é a função de onda do elétron no estado fundamental. No caso mais simples, em uma dimensão, a função de onda é dada por:
psi(x) = raiz1pi a0^2 , e^-|x|a0
Aqui, é o raio de Bohr, uma constante que caracteriza o tamanho do átomo de hidrogênio no seu estado fundamental.

Passo 3

A probabilidade de encontrar o elétron em uma certa região é dada pelo quadrado da função de onda nessa região, ou seja, |psi(x)|^2 = 1pi a0^2 , e^-2|x|a0 . Então, a função densidade de probabilidade é:

Passo 4

Para encontrar a probabilidade de o elétron estar entre P(0 <= x <= a0) = integral0^a0 |psi(x)|^2 , dx = integral0^a0 1pi a0^2 , e^-2xa0 , dx e , vamos integrar essa densidade de probabilidade nesse intervalo:

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Primeiro, podemos simplificar a expressão:
P = 1pi a0^2 integral0^a0 e^-2xa0 , dx
A integral de integral e^-2xa0 , dx = -a02 e^-2xa0 + C em relação a é:

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 0 a P = 1pi a0^2 [ -a02 e^-2a0a0 + a02 e^0 ] = 1pi a0^2 [ -a02 e^-2 + a02 ] :
P = 1pi a0^2 cdot a02 (1 - e^-2) = 12pi a0 (1 - e^-2)
Simplificando:

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron entre P = 12pi a0 (1 - e^-2) approx 12pi a0 times 0.8647 approx 0.86472pi a0 e no estado fundamental é:
Isso significa que há aproximadamente de probabilidade de localizar o elétron nesse intervalo.

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