No estado fundamental de um átomo de um elétron, qual é a probabilidade para encontrar o elétron localizado entre e ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um átomo com um elétron no seu estado fundamental, ou seja, na configuração mais estável possível. A pergunta é: qual a probabilidade desse elétron estar entre os pontos e ?
Aqui, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre a função de onda do elétron e como calcular probabilidades a partir dela.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber qual é a função de onda do elétron no estado fundamental. No caso mais simples, em uma dimensão, a função de onda é dada por:
Aqui, é o raio de Bohr, uma constante que caracteriza o tamanho do átomo de hidrogênio no seu estado fundamental.

Passo 3

A probabilidade de encontrar o elétron em uma certa região é dada pelo quadrado da função de onda nessa região, ou seja, . Então, a função densidade de probabilidade é:

Passo 4

Para encontrar a probabilidade de o elétron estar entre e , vamos integrar essa densidade de probabilidade nesse intervalo:

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Primeiro, podemos simplificar a expressão:
A integral de em relação a é:

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 0 a :
Simplificando:

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron entre e no estado fundamental é:
Isso significa que há aproximadamente de probabilidade de localizar o elétron nesse intervalo.

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