No estado fundamental de um átomo de um elétron, qual é a probabilidade para encontrar o elétron localizado entre
e
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um átomo com um elétron no seu estado fundamental, ou seja, na configuração mais estável possível. A pergunta é: qual a probabilidade desse elétron estar entre os pontos
e
?
Aqui, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre a função de onda do elétron e como calcular probabilidades a partir dela.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber qual é a função de onda do elétron no estado fundamental. No caso mais simples, em uma dimensão, a função de onda é dada por:
Aqui,
é o raio de Bohr, uma constante que caracteriza o tamanho do átomo de hidrogênio no seu estado fundamental.
Passo 3
A probabilidade de encontrar o elétron em uma certa região é dada pelo quadrado da função de onda nessa região, ou seja,
. Então, a função densidade de probabilidade é:
Passo 4
Para encontrar a probabilidade de o elétron estar entre
e
, vamos integrar essa densidade de probabilidade nesse intervalo:
Passo 5
Vamos resolver essa integral. Primeiro, podemos simplificar a expressão:
A integral de
em relação a
é:
Passo 6
Aplicando os limites de integração de 0 a
:
Simplificando:
Resposta
A probabilidade de encontrar o elétron entre
e
no estado fundamental é:
Isso significa que há aproximadamente
de probabilidade de localizar o elétron nesse intervalo.