Use a lei de Planck para mostrar que a densidade total de energia de um corpo negro é proporcional
, o que está de acordo com a lei de Stefan-Boltzmann:
Em outras palavras, mostre que
Onde
é uma constante. Dica: utilize o resultado da integral imprópria:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para mostrar que a densidade total de energia de um corpo negro, representada por
, é proporcional a
, onde
é a temperatura. Isso está de acordo com a lei de Stefan-Boltzmann, que diz que a radiação emitida por um corpo negro (
) é dada por:
A gente vai precisar usar a Lei de Planck, que descreve a distribuição espectral de energia de um corpo negro, e também a Lei de Stefan-Boltzmann. Além disso, vamos usar uma integral que já vem com uma solução conhecida para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da expressão da densidade espectral de energia
dada pela Lei de Planck:
Aqui:
-
é a constante de Planck, -
é a velocidade da luz, -
é o comprimento de onda, -
é a constante de Boltzmann, -
é a temperatura.
O objetivo é integrar
de 0 a infinito para encontrar a densidade total de energia
.
Passo 3
Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a integral. Vamos definir:
Com isso, podemos reescrever
em termos de
:
Agora, calculamos o diferencial
:
Como estamos integrando de
a
, isso corresponde a
a
. Para manter a integral com os limites de 0 a
, vamos considerar o valor absoluto e retirar o sinal negativo.
Passo 4
Substituindo tudo na expressão da integral de
:
Com a mudança de variável, fica:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, simplificamos os termos de
:
Substituindo na integral:
Agora, simplificamos os coeficientes:
Simplificando mais:
Passo 6
Agora, usamos a dica fornecida no exercício, que é o valor da integral:
Substituindo esse valor na expressão de
:
Resposta
Então, concluímos que a densidade total de energia
é proporcional a
, ou seja:
Onde a constante
é:
Isso confirma que a densidade de energia de um corpo negro realmente segue a relação
, conforme a lei de Stefan-Boltzmann.
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