Use a lei de Planck para mostrar que a densidade total de energia de um corpo negro é proporcional , o que está de acordo com a lei de Stefan-Boltzmann:
Em outras palavras, mostre que
Onde é uma constante. Dica: utilize o resultado da integral imprópria:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para mostrar que a densidade total de energia de um corpo negro, representada por , é proporcional a , onde é a temperatura. Isso está de acordo com a lei de Stefan-Boltzmann, que diz que a radiação emitida por um corpo negro ( ) é dada por:
A gente vai precisar usar a Lei de Planck, que descreve a distribuição espectral de energia de um corpo negro, e também a Lei de Stefan-Boltzmann. Além disso, vamos usar uma integral que já vem com uma solução conhecida para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da expressão da densidade espectral de energia dada pela Lei de Planck:
Aqui:
  • é a constante de Planck,
  • é a velocidade da luz,
  • é o comprimento de onda,
  • é a constante de Boltzmann,
  • é a temperatura.
O objetivo é integrar de 0 a infinito para encontrar a densidade total de energia .

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a integral. Vamos definir:
Com isso, podemos reescrever em termos de :
Agora, calculamos o diferencial :
Como estamos integrando de a , isso corresponde a a . Para manter a integral com os limites de 0 a , vamos considerar o valor absoluto e retirar o sinal negativo.

Passo 4

Substituindo tudo na expressão da integral de :
Com a mudança de variável, fica:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, simplificamos os termos de :
Substituindo na integral:
Agora, simplificamos os coeficientes:
Simplificando mais:

Passo 6

Agora, usamos a dica fornecida no exercício, que é o valor da integral:
Substituindo esse valor na expressão de :

Resposta

Então, concluímos que a densidade total de energia é proporcional a , ou seja:
Onde a constante é:
Isso confirma que a densidade de energia de um corpo negro realmente segue a relação , conforme a lei de Stefan-Boltzmann.

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