Use a lei de Planck para mostrar que a densidade total de energia de um corpo negro é proporcional T^4, o que está de acordo com a lei de Stefan-Boltzmann:
R=sigma T^4
Em outras palavras, mostre que
U=integral0^infty u(lambda) d lambda=C T^4
Onde C é uma constante. Dica: utilize o resultado da integral imprópria:
integral0^infty x^3e^x-1 d x=pi^415

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para mostrar que a densidade total de energia de um corpo negro, representada por R = sigma T^4 , é proporcional a , onde é a temperatura. Isso está de acordo com a lei de Stefan-Boltzmann, que diz que a radiação emitida por um corpo negro ( ) é dada por:
A gente vai precisar usar a Lei de Planck, que descreve a distribuição espectral de energia de um corpo negro, e também a Lei de Stefan-Boltzmann. Além disso, vamos usar uma integral que já vem com uma solução conhecida para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da expressão da densidade espectral de energia u(lambda) = 8 pi h clambda^5 1e^hclambda kB T -1 dada pela Lei de Planck:
Aqui:
  • é a constante de Planck,
  • é a velocidade da luz,
  • é o comprimento de onda,
  • é a constante de Boltzmann,
  • é a temperatura.
O objetivo é integrar de 0 a infinito para encontrar a densidade total de energia .

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a integral. Vamos definir:
x = hclambda kB T
Com isso, podemos reescrever lambda = hcx kB T em termos de dlambda = -hcx^2 kB T dx :
Agora, calculamos o diferencial :
Como estamos integrando de a , isso corresponde a a . Para manter a integral com os limites de 0 a , vamos considerar o valor absoluto e retirar o sinal negativo.

Passo 4

Substituindo tudo na expressão da integral de U = integral0^infty u(lambda) dlambda = integral0^infty 8 pi h clambda^5 1e^hclambda kB T -1 dlambda :
U = integral0^infty 8 pi h c( hcx kB T )^5 1e^x -1 ( hcx^2 kB T ) dx
Com a mudança de variável, fica:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, simplificamos os termos de ( hcx kB T )^5 = (hc)^5x^5 (kB T)^5 :
U = integral0^infty 8 pi h c cdot x^5 (kB T)^5(hc)^5 cdot 1e^x -1 cdot hcx^2 kB T dx
Substituindo na integral:
U = 8 pi h c (kB T)^5 hc(hc)^5 kB T integral0^infty x^3e^x -1 dx
Agora, simplificamos os coeficientes:
U = 8 pi (kB)^4 T^4(hc)^3 integral0^infty x^3e^x -1 dx
Simplificando mais:

Passo 6

Agora, usamos a dica fornecida no exercício, que é o valor da integral:
integral0^infty x^3e^x -1 dx = pi^415
Substituindo esse valor na expressão de U = 8 pi (kB)^4 T^4(hc)^3 cdot pi^415 = 8 pi^5 (kB)^4 T^415 (hc)^3 :

Resposta

Então, concluímos que a densidade total de energia U = C T^4 é proporcional a C = 8 pi^5 (kB)^415 (hc)^3 , ou seja:
Onde a constante é:
Isso confirma que a densidade de energia de um corpo negro realmente segue a relação , conforme a lei de Stefan-Boltzmann.

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