Uma partícula se encontra no estado fundamental de um poço quadrado infinito dado pela Equação 1. Calcule a probabilidade de que a partícula seja encontrada na região © 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com Mecânica Quântica, especificamente com o estado fundamental de um poço quadrado infinito. Precisamos calcular a probabilidade de encontrar uma partícula na região 0 < x < 3L4. Para isso, vamos usar a função de onda do estado fundamental e integrar o quadrado dessa função sobre a região indicada.

Passo 2

A função de onda para o estado fundamental ( n=1) de um poço quadrado infinito de largura L é dada por:
psi1(x) = raiz2L sin(pi xL)
Essa função descreve a amplitude de probabilidade de encontrar a partícula em uma posição x dentro do poço.

Passo 3

A probabilidade P de encontrar a partícula na região 0 < x < 3L4 é obtida integrando o quadrado da função de onda sobre esse intervalo:
P = integral0^3L4 |psi1(x)|^2 dx = 2L integral0^3L4 sin^2(pi xL) dx

Passo 4

Para resolver a integral, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2(a) = 1 - cos(2a)2
Aplicando essa identidade, temos:
P = 2L integral0^3L4 1 - cos(2pi xL)2 dx = 1L integral0^3L4 (1 - cos(2pi xL)) dx

Passo 5

Agora, integramos termo a termo:
P = 1L [ integral0^3L4 1 , dx - integral0^3L4 cos(2pi xL) dx ]
Integrando, obtemos:
P = 1L [ 3L4 - ( L2pi sin(2pi xL) ) g|0^3L4 ]
Substituindo os limites de integração:
P = 1L [ 3L4 - L2pi ( sin(3pi2) - sin(0) ) ] = 1L [ 3L4 - L2pi (-1 - 0) ] = 1L [ 3L4 + L2pi ]
Simplificando:
P = 34 + 12pi approx 0,75 + 0,159 approx 0,909

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula na região 0 < x < 3L4 é aproximadamente 90,9%.

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