Uma partícula se encontra no estado fundamental de um poço quadrado infinito dado pela Equação 1. Calcule a probabilidade de que a partícula seja encontrada na região © .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com Mecânica Quântica, especificamente com o estado fundamental de um poço quadrado infinito. Precisamos calcular a probabilidade de encontrar uma partícula na região . Para isso, vamos usar a função de onda do estado fundamental e integrar o quadrado dessa função sobre a região indicada.

Passo 2

A função de onda para o estado fundamental ( ) de um poço quadrado infinito de largura é dada por:
Essa função descreve a amplitude de probabilidade de encontrar a partícula em uma posição dentro do poço.

Passo 3

A probabilidade de encontrar a partícula na região é obtida integrando o quadrado da função de onda sobre esse intervalo:

Passo 4

Para resolver a integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando essa identidade, temos:

Passo 5

Agora, integramos termo a termo:
Integrando, obtemos:
Substituindo os limites de integração:
Simplificando:

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula na região é aproximadamente 90,9%.

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Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por e uma energia dada por , em que é um comprimento. (f) A energia potencial de um oscilador harmônico simples é dada por , na qual é a frequência angular do oscilador. Compare este valor com o encontrado no item (a) e mostre que a energia total para esta função de onda pode ser escrita na forma .
Use a lei de Planck para mostrar que a densidade total de energia de um corpo negro é proporcional , o que está de acordo com a lei de Stefan-Boltzmann:
Em outras palavras, mostre que
Onde é uma constante. Dica: utilize o resultado da integral imprópria:
Para o estado fundamental do oscilador harmônico simples , o polinômio de Hermite da Equação
é . Determine (a) a constante de normalização