O estado inicial de uma partícula de massa m, confinada no intervalo 0, em um campo conservativo, é dado por
Psi(x, 0)=A sin (pi xa) e^-i E t / hbar
onde E é a energia.
(b) Normalize este estado;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para normalizar o estado inicial de uma partícula confinado no intervalo . Isso está relacionado ao conteúdo de Mecânica Quântica, especificamente sobre funções de onda e normalização. Para resolver, vamos precisar entender como garantir que a probabilidade total de encontrar a partícula no intervalo seja igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de onda integral0^a |Psi(x,0)|^2 dx = 1 deve ser normalizada, ou seja, a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Isso garante que a partícula esteja localizada em algum lugar dentro do intervalo.

Passo 3

Vamos calcular o módulo ao quadrado de |Psi(x,0)|^2 = |A sin(pi xa) e^-i E t / hbar|^2 = |A|^2 sin^2(pi xa) |e^-i E t / hbar|^2 :
|Psi(x,0)|^2 = |A|^2 sin^2(pi xa)
Como , simplifica para:

Passo 4

Agora, substituímos na integral de normalização:
|A|^2 integral0^a sin^2(pi xa) dx = 1
Precisamos calcular essa integral. Sabemos que:
integral sin^2(kx) dx = x2 - sin(2kx)4k + C
Aplicando integral0^a sin^2(pi xa) dx = a2 , temos:

Passo 5

Substituindo o resultado da integral na equação de normalização:
|A|^2 cdot a2 = 1
Resolvendo para |A|^2 = 2a :

Passo 6

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar A = raiz2a :

Resposta

O valor da constante de normalização é .

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