Mostre que a razão entre o comprimento de onda de Compton
e o comprimento de onda de de Broglie para o elétron relativístico é dado por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para mostrar a razão entre o comprimento de onda de Compton (
) e o comprimento de onda de de Broglie (
) para um elétron relativístico. Vamos usar conceitos de mecânica quântica e relatividade especial para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o comprimento de onda de Compton. A fórmula é:
onde:
-
é a constante de Planck, -
é a massa do elétron, -
é a velocidade da luz.
Passo 3
Agora, vamos ver o comprimento de onda de de Broglie para um elétron relativístico. A fórmula geral de de Broglie é:
onde
é o momento do elétron.
Passo 4
Para um elétron relativístico, o momento
está relacionado com a energia total
pela equação:
Dessa equação, podemos isolar
:
Passo 5
Substituindo
na fórmula de de Broglie:
Passo 6
Agora, vamos calcular a razão
:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Passo 8
Assumindo que a energia
é bem maior que
, podemos aproximar:
Resposta
Portanto, a razão entre o comprimento de onda de Compton e o comprimento de onda de de Broglie para um elétron relativístico é:
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, confinada no intervalo
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onde
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(b) Normalize este estado;
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onde
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(Dica: utilize as leis de conservação da energia e momentum.)
(Dica: utilize as leis de conservação da energia e momentum.)
O estado inicial de uma partícula é dado por
onde
.
(a) Determine a constante de normalização ;
(a) Determine a constante de normalização