Mostre que a razão entre o comprimento de onda de Compton lambdaC=h / m c e o comprimento de onda de de Broglie para o elétron relativístico é dado por:
lambdaClambda=[Em c^2-1]^1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para mostrar a razão entre o comprimento de onda de Compton ( lambdaC) e o comprimento de onda de de Broglie ( lambda) para um elétron relativístico. Vamos usar conceitos de mecânica quântica e relatividade especial para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o comprimento de onda de Compton. A fórmula é:
lambdaC = hm c
onde:
  • h é a constante de Planck,
  • m é a massa do elétron,
  • c é a velocidade da luz.

Passo 3

Agora, vamos ver o comprimento de onda de de Broglie para um elétron relativístico. A fórmula geral de de Broglie é:
lambda = hp
onde p é o momento do elétron.

Passo 4

Para um elétron relativístico, o momento p está relacionado com a energia total E pela equação:
E^2 = (p c)^2 + (m c^2)^2
Dessa equação, podemos isolar p:
p = raizE^2 - (m c^2)^2c

Passo 5

Substituindo p na fórmula de de Broglie:
lambda = hraizE^2 - (m c^2)^2c = h craizE^2 - (m c^2)^2

Passo 6

Agora, vamos calcular a razão lambdaClambda:
lambdaClambda = hm ch craizE^2 - (m c^2)^2 = raizE^2 - (m c^2)^2m c^2

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
raizE^2 - (m c^2)^2m c^2 = raizE^2m^2 c^4 - 1 = raiz(Em c^2)^2 - 1

Passo 8

Assumindo que a energia E é bem maior que m c^2, podemos aproximar:
raiz(Em c^2)^2 - 1 approx raizEm c^2 - 1

Resposta

Portanto, a razão entre o comprimento de onda de Compton e o comprimento de onda de de Broglie para um elétron relativístico é:
lambdaClambda = [Em c^2 - 1]^1 / 2

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