Mostre que a razão entre o comprimento de onda de Compton e o comprimento de onda de de Broglie para o elétron relativístico é dado por:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para mostrar a razão entre o comprimento de onda de Compton ( ) e o comprimento de onda de de Broglie ( ) para um elétron relativístico. Vamos usar conceitos de mecânica quântica e relatividade especial para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o comprimento de onda de Compton. A fórmula é:
onde:
  • é a constante de Planck,
  • é a massa do elétron,
  • é a velocidade da luz.

Passo 3

Agora, vamos ver o comprimento de onda de de Broglie para um elétron relativístico. A fórmula geral de de Broglie é:
onde é o momento do elétron.

Passo 4

Para um elétron relativístico, o momento está relacionado com a energia total pela equação:
Dessa equação, podemos isolar :

Passo 5

Substituindo na fórmula de de Broglie:

Passo 6

Agora, vamos calcular a razão :

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:

Passo 8

Assumindo que a energia é bem maior que , podemos aproximar:

Resposta

Portanto, a razão entre o comprimento de onda de Compton e o comprimento de onda de de Broglie para um elétron relativístico é:

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O estado inicial de uma partícula de massa , confinada no intervalo , em um campo conservativo, é dado por
onde é a energia.
(b) Normalize este estado;
Mostre que a energia de recuo do elétron no espalhamento Compton é dada por
onde é a chamada constante de acoplamento. Este resultado foi obtido por Peter Debye em 1923.
(Dica: utilize as leis de conservação da energia e momentum.)
O estado inicial de uma partícula é dado por
onde .
(a) Determine a constante de normalização ;