Obtenha a equação de Schrödinger dependente do tempo, partindo da equação de onda de d
e usando as hipóteses de de Broglie.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente quer chegar na equação de Schrödinger que depende do tempo, partindo da equação de onda clássica:
Pra isso, vamos usar as hipóteses de de Broglie, que conectam partículas com ondas. O conteúdo aqui é de mecânica quântica, especificamente sobre como as partículas se comportam como ondas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das relações de de Broglie. Segundo ele, toda partícula tem uma onda associada, e essas ondas têm características como comprimento de onda e frequência ligadas ao momento e à energia da partícula. As relações são:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a frequência angular, e é o vetor de onda.

Passo 3

Agora, vamos substituir essas relações na equação de onda que a gente tem. A gente assume que a função de onda pode ser escrita como uma combinação de ondas com essas características de energia e momento. Então, aplicando as derivadas:
A derivada temporal:
E as derivadas espaciais:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na equação de onda original, temos:
Simplificando:
Como , então:

Passo 5

Agora, vamos relacionar isso com a energia e o momento usando as relações de de Broglie. Sabemos que:
Substituindo e na equação , obtemos:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

Assim, chegamos na equação de Schrödinger dependente do tempo:

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Estime o comprimento de onda de de Broglie e a frequência associados a um elétron com massa e:
(b) Energia igual a 1 GeV .
O estado inicial de uma partícula de massa , confinada no intervalo , em um campo conservativo, é dado por
onde é a energia.
(b) Normalize este estado;
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