Obtenha a equação de Schrödinger dependente do tempo, partindo da equação de onda de d
e usando as hipóteses de de Broglie.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente quer chegar na equação de Schrödinger que depende do tempo, partindo da equação de onda clássica:
Pra isso, vamos usar as hipóteses de de Broglie, que conectam partículas com ondas. O conteúdo aqui é de mecânica quântica, especificamente sobre como as partículas se comportam como ondas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das relações de de Broglie. Segundo ele, toda partícula tem uma onda associada, e essas ondas têm características como comprimento de onda
e frequência
ligadas ao momento
e à energia
da partícula. As relações são:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a frequência angular, e
é o vetor de onda.
Passo 3
Agora, vamos substituir essas relações na equação de onda que a gente tem. A gente assume que a função de onda
pode ser escrita como uma combinação de ondas com essas características de energia e momento. Então, aplicando as derivadas:
A derivada temporal:
E as derivadas espaciais:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na equação de onda original, temos:
Simplificando:
Como
, então:
Passo 5
Agora, vamos relacionar isso com a energia e o momento usando as relações de de Broglie. Sabemos que:
Substituindo
e
na equação
, obtemos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
Assim, chegamos na equação de Schrödinger dependente do tempo: