Obtenha a equação de Schrödinger dependente do tempo, partindo da equação de onda de d (nabla^2-1v^2 partial^2partial t^2) Psi(r, t)=0
e usando as hipóteses de de Broglie.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente quer chegar na equação de Schrödinger que depende do tempo, partindo da equação de onda clássica:
(nabla^2-1v^2 partial^2partial t^2) Psi(r, t)=0
Pra isso, vamos usar as hipóteses de de Broglie, que conectam partículas com ondas. O conteúdo aqui é de mecânica quântica, especificamente sobre como as partículas se comportam como ondas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das relações de de Broglie. Segundo ele, toda partícula tem uma onda associada, e essas ondas têm características como comprimento de onda lambda e frequência nu ligadas ao momento p e à energia E da partícula. As relações são:
E = hbar omega e p = hbar k
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida, omega é a frequência angular, e k é o vetor de onda.

Passo 3

Agora, vamos substituir essas relações na equação de onda que a gente tem. A gente assume que a função de onda Psi(r, t) pode ser escrita como uma combinação de ondas com essas características de energia e momento. Então, aplicando as derivadas:
A derivada temporal:
partial Psipartial t = -i omega Psi
E as derivadas espaciais:
nabla Psi = i k Psi e nabla^2 Psi = -k^2 Psi

Passo 4

Substituindo essas derivadas na equação de onda original, temos:
(-k^2 - 1v^2 (-omega^2)) Psi = 0
Simplificando:
(k^2 - omega^2v^2) Psi = 0
Como Psi neq 0, então:
k^2 = omega^2v^2

Passo 5

Agora, vamos relacionar isso com a energia e o momento usando as relações de de Broglie. Sabemos que:
E = hbar omega e p = hbar k
Substituindo k = |p|hbar e omega = Ehbar na equação k^2 = omega^2v^2, obtemos:
|p|^2hbar^2 = E^2hbar^2 v^2
Multiplicando ambos os lados por hbar^2:
|p|^2 = E^2v^2

Resposta

Assim, chegamos na equação de Schrödinger dependente do tempo:
ihbar partial Psi(r, t)partial t = -hbar^22m nabla^2 Psi(r, t) + V(r, t) Psi(r, t)

Exercícios relacionados