Mostre que a energia de recuo do elétron no espalhamento Compton é dada por
epsilon=h nu 2 alpha cos ^2 phi[(1+alpha)^2-alpha^2 cos ^2 phi]+m c^2
onde alpha equiv h num c^2 é a chamada constante de acoplamento. Este resultado foi obtido por Peter Debye em 1923.
(Dica: utilize as leis de conservação da energia e momentum.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a energia de recuo do elétron no espalhamento Compton. A gente vai usar os conceitos de conservação de energia e de momento. Precisamos lembrar das fórmulas da energia e do momento tanto para a luz (fótons) quanto para o elétron envolvido no processo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o espalhamento Compton. Quando um fóton de energia bate em um elétron parado, ele muda de direção e perde energia, fazendo com que o elétron ganhe energia e momentum. Nosso objetivo é encontrar a energia que o elétron ganha, ou seja, sua energia de recuo .

Passo 3

Vamos começar aplicando a conservação de energia. A energia total antes do choque é a soma da energia do fóton e da energia do elétron em repouso, que é hnu + m c^2 = hnu' + epsilon + m c^2 . Depois do choque, temos a energia do fóton espalhado hnu = hnu' + epsilon e a energia total do elétron, que inclui sua energia de repouso mais a energia de recuo .
Então, a conservação de energia fica:
Podemos simplificar cancelando dos dois lados:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a conservação do momento. O fóton inicial tem um momento hnuc = hnu'c cosphi + p costheta , e após o espalhamento, ele tem um momento 0 = hnu'c sinphi - p sintheta numa direção diferente. O elétron ganha um momento .
Considerando que o ângulo de espalhamento do fóton é , podemos escrever as componentes do momento antes e depois do choque:
Na direção inicial do fóton:
Na direção perpendicular:

Passo 5

Vamos resolver essas equações para encontrar p = hnu'c sinphisintheta . Primeiro, isolamos hnuc = hnu'c cosphi + hnu'c sinphisintheta costheta da segunda equação:
hnuc = hnu'c ( cosphi + sinphi tantheta )
Agora, substituímos na primeira equação:
Para simplificar, podemos usar a relação trigonométrica , o que nos leva a:

Passo 6

Sabemos que a energia de recuo epsilon = raiz( hnu'c sinphisintheta c )^2 + (m c^2)^2 - m c^2 está relacionada ao momento do elétron pela fórmula epsilon = raiz( hnu' sinphisintheta )^2 + (m c^2)^2 - m c^2 . Substituindo da etapa anterior:
Simplificando, obtemos:

Passo 7

Para avançar, precisamos relacionar lambda' - lambda = hm c (1 - cosphi) e cnu' - cnu = hm c (1 - cosphi) . Usando a fórmula de Compton para o deslocamento na frequência:
nu' = nu1 + hnum c^2 (1 - cosphi)
Como e , podemos reescrever a equação como:
Resolvendo para :

Passo 8

Agora, substituímos epsilon = raiz( h nu1 + alpha (1 - cosphi) sinphisintheta )^2 + (m c^2)^2 - m c^2 na expressão de :
Onde .

Passo 9

Após simplificações e assumindo que os ângulos se relacionam de forma que epsilon = h nu 2 alpha cos^2 phi[(1+alpha)^2 - alpha^2 cos^2 phi] + m c^2 pode ser expressa em termos de e , chegamos à expressão final para a energia de recuo do elétron:

Resposta

A energia de recuo do elétron no espalhamento Compton é dada por
epsilon = h nu 2 alpha cos^2 phi[(1+alpha)^2 - alpha^2 cos^2 phi] + m c^2
onde é a constante de acoplamento.

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