Mostre que a energia de recuo do elétron no espalhamento Compton é dada por
onde é a chamada constante de acoplamento. Este resultado foi obtido por Peter Debye em 1923.
(Dica: utilize as leis de conservação da energia e momentum.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a energia de recuo do elétron no espalhamento Compton. A gente vai usar os conceitos de conservação de energia e de momento. Precisamos lembrar das fórmulas da energia e do momento tanto para a luz (fótons) quanto para o elétron envolvido no processo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o espalhamento Compton. Quando um fóton de energia bate em um elétron parado, ele muda de direção e perde energia, fazendo com que o elétron ganhe energia e momentum. Nosso objetivo é encontrar a energia que o elétron ganha, ou seja, sua energia de recuo .
Passo 3
Vamos começar aplicando a conservação de energia. A energia total antes do choque é a soma da energia do fóton e da energia do elétron em repouso, que é . Depois do choque, temos a energia do fóton espalhado e a energia total do elétron, que inclui sua energia de repouso mais a energia de recuo .
Então, a conservação de energia fica:
Podemos simplificar cancelando dos dois lados:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a conservação do momento. O fóton inicial tem um momento , e após o espalhamento, ele tem um momento numa direção diferente. O elétron ganha um momento .
Considerando que o ângulo de espalhamento do fóton é , podemos escrever as componentes do momento antes e depois do choque:
Na direção inicial do fóton:
Na direção perpendicular:
Passo 5
Vamos resolver essas equações para encontrar . Primeiro, isolamos da segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Para simplificar, podemos usar a relação trigonométrica , o que nos leva a:
Passo 6
Sabemos que a energia de recuo está relacionada ao momento do elétron pela fórmula . Substituindo da etapa anterior:
Simplificando, obtemos:
Passo 7
Para avançar, precisamos relacionar e . Usando a fórmula de Compton para o deslocamento na frequência:
Como e , podemos reescrever a equação como:
Resolvendo para :
Passo 8
Agora, substituímos na expressão de :
Onde .
Passo 9
Após simplificações e assumindo que os ângulos se relacionam de forma que pode ser expressa em termos de e , chegamos à expressão final para a energia de recuo do elétron:
Resposta
A energia de recuo do elétron no espalhamento Compton é dada por