A partir da definição do fluxo gravitacional, encontre a equação de Poisson para o potencial gravitacional como feito em aula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para, a partir da definição de fluxo gravitacional, encontrar a equação de Poisson para o potencial gravitacional. Isso está dentro da área da física clássica, mais especificamente na teoria da gravitação. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como fluxo gravitacional, campo gravitacional e potencial gravitacional, além de usar algumas ferramentas de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo gravitacional. O fluxo de um campo gravitacional
através de uma superfície fechada
é dado por:
Aqui,
é um elemento vetorial de área na superfície
, apontando para fora.
Passo 3
Segundo a Lei da Gravitação de Gauss, o fluxo gravitacional
é proporcional à massa total
dentro da superfície
. Matematicamente, temos:
Onde
é a constante gravitacional e o sinal negativo indica que o campo gravitacional é atrativo.
Passo 4
Sabemos que a massa
dentro de
pode ser relacionada à densidade de massa
através da integral:
Substituindo isso na equação do fluxo, temos:
Passo 5
Pela divergência de Gauss, podemos relacionar a integral de superfície com a divergência do campo:
Comparando com a equação anterior:
Como isso deve ser válido para qualquer volume
, podemos igualar as integrandas:
Passo 6
Agora, lembrando que o campo gravitacional
está relacionado ao potencial gravitacional
por:
Substituindo na equação anterior:
Simplificando:
O que nos leva à equação de Poisson para o potencial gravitacional:
Resposta
A equação de Poisson para o potencial gravitacional é:
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