A partir da definição do fluxo gravitacional, encontre a equação de Poisson para o potencial gravitacional como feito em aula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para, a partir da definição de fluxo gravitacional, encontrar a equação de Poisson para o potencial gravitacional. Isso está dentro da área da física clássica, mais especificamente na teoria da gravitação. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como fluxo gravitacional, campo gravitacional e potencial gravitacional, além de usar algumas ferramentas de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo gravitacional. O fluxo de um campo gravitacional Phi = ointS g cdot dA através de uma superfície fechada é dado por:
Aqui, é um elemento vetorial de área na superfície , apontando para fora.

Passo 3

Segundo a Lei da Gravitação de Gauss, o fluxo gravitacional Phi = -4pi G M é proporcional à massa total dentro da superfície . Matematicamente, temos:
Onde é a constante gravitacional e o sinal negativo indica que o campo gravitacional é atrativo.

Passo 4

Sabemos que a massa M = integralV rho , dV dentro de ointS g cdot dA = -4pi G integralV rho , dV pode ser relacionada à densidade de massa através da integral:
Substituindo isso na equação do fluxo, temos:

Passo 5

Pela divergência de Gauss, podemos relacionar a integral de superfície com a divergência do campo:
ointS g cdot dA = integralV (nabla cdot g) , dV
Comparando com a equação anterior:
integralV (nabla cdot g) , dV = -4pi G integralV rho , dV
Como isso deve ser válido para qualquer volume nabla cdot g = -4pi G rho , podemos igualar as integrandas:

Passo 6

Agora, lembrando que o campo gravitacional g = -nabla phi está relacionado ao potencial gravitacional nabla cdot (-nabla phi) = -4pi G rho por:
-nabla^2 phi = -4pi G rho
Substituindo na equação anterior:
nabla^2 phi = 4pi G rho
Simplificando:
O que nos leva à equação de Poisson para o potencial gravitacional:

Resposta

A equação de Poisson para o potencial gravitacional é:
nabla^2 phi = 4pi G rho

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