O estado inicial de uma partícula, Psi(x, 0) em t-0, é dado por
Psi(x, 0)=Nx^2+alpha^2
onde alpha e N são parametros reais. Encontre a) a cosntante de normalização N,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função de onda inicial de uma partícula, que é dada por
Psi(x, 0) = Nx^2 + alpha^2
onde alpha e N são parâmetros reais. A gente precisa achar a constante de normalização N. Isso faz parte da matéria de Mecânica Quântica, mais especificamente do processo de normalização da função de onda. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função de onda ao quadrado sobre todo o espaço e igualar a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para normalizar a função de onda, a integral do módulo ao quadrado da função de onda deve ser igual a 1. Ou seja,
integral-infty^infty |Psi(x, 0)|^2 , dx = 1
Como Psi(x, 0) é real, o módulo ao quadrado é simplesmente o quadrado da função:
integral-infty^infty (Nx^2 + alpha^2)^2 dx = 1

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
integral-infty^infty N^2(x^2 + alpha^2)^2 , dx = 1
Podemos tirar o N^2 da integral, já que é uma constante:
N^2 integral-infty^infty 1(x^2 + alpha^2)^2 , dx = 1

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral:
integral-infty^infty 1(x^2 + alpha^2)^2 , dx
Essa integral é conhecida e tem o resultado:
integral-infty^infty 1(x^2 + alpha^2)^2 , dx = pi2 alpha^3

Passo 5

Substituindo o valor da integral na equação anterior:
N^2 cdot pi2 alpha^3 = 1
Agora, vamos resolver para N^2:
N^2 = 2 alpha^3pi

Passo 6

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar N:
N = raiz2 alpha^3pi = raiz2 , alpha^32raizpi

Resposta

A constante de normalização é
N = raiz2 , alpha^32raizpi

Exercícios relacionados