Mostre que a soma das funções de onda psi1(x, t)=A e^i(k x-omega t) e psi2(x, t)=B e^-i(k x+omega t) é solução da equação de Schroedinger para uma partícula de massa m num potencial constante, V=Vo, e obtenha a relação entre k e omega.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a soma de duas funções de onda, psi1(x, t)=A e^i(k x-omega t) e psi2(x, t)=B e^-i(k x+omega t), resolve a equação de Schrödinger para uma partícula com massa m em um potencial constante V=Vo. Além disso, precisamos encontrar a relação entre os valores de k e omega. Para isso, vamos precisar entender a equação de Schrödinger e como as funções de onda se comportam nela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em um potencial V(x):
ihbar partial psipartial t = -hbar^22m partial^2 psipartial x^2 + V(x)psi
Aqui, psi é a função de onda, hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula, e V(x) é o potencial.

Passo 3

Nosso objetivo é verificar se a soma das funções de onda psi = psi1 + psi2 satisfaz essa equação. Vamos calcular os termos da equação de Schrödinger para psi.

Passo 4

Primeiro, calculamos a derivada parcial de psi em relação ao tempo:
partial psipartial t = partial psi1partial t + partial psi2partial t
Calculando cada derivada:
partial psi1partial t = -iomega A e^i(kx - omega t)
partial psi2partial t = -iomega B e^-i(kx + omega t)
Então,
partial psipartial t = -iomega psi1 - iomega psi2

Passo 5

Agora, calculamos a segunda derivada parcial de psi em relação a x:
partial^2 psipartial x^2 = partial^2 psi1partial x^2 + partial^2 psi2partial x^2
Calculando cada derivada:
partial psi1partial x = ik A e^i(kx - omega t)
partial^2 psi1partial x^2 = -k^2 A e^i(kx - omega t)
Similarmente,
partial psi2partial x = -ik B e^-i(kx + omega t)
partial^2 psi2partial x^2 = -k^2 B e^-i(kx + omega t)
Então,
partial^2 psipartial x^2 = -k^2 psi1 - k^2 psi2

Passo 6

Agora, substituímos partial psipartial t e partial^2 psipartial x^2 na equação de Schrödinger:
ihbar (-iomega psi1 - iomega psi2) = -hbar^22m (-k^2 psi1 - k^2 psi2) + Vo(psi1 + psi2)
Simplificando o lado esquerdo:
hbar omega psi1 + hbar omega psi2
E o lado direito:
hbar^2 k^22m psi1 + hbar^2 k^22m psi2 + Vo psi1 + Vo psi2

Passo 7

Igualando os dois lados da equação:
hbar omega psi1 + hbar omega psi2 = ( hbar^2 k^22m + Vo ) psi1 + ( hbar^2 k^22m + Vo ) psi2
Para que isso seja verdadeiro para qualquer psi1 e psi2, os coeficientes devem ser iguais:
hbar omega = hbar^2 k^22m + Vo

Passo 8

Agora, resolvemos essa equação para relacionar k e omega:
hbar omega - Vo = hbar^2 k^22m
Multiplicando ambos os lados por 2mhbar^2:
k^2 = 2mhbar^2 (hbar omega - Vo)
Simplificando:
k = raiz 2mhbar^2 (hbar omega - Vo)

Resposta

A soma das funções de onda psi = psi1 + psi2 é solução da equação de Schrödinger quando a relação entre k e omega é dada por:
k = raiz 2mhbar^2 (hbar omega - Vo)

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