Mostre que a soma das funções de onda é solução da equação de Schroedinger para uma partícula de massa num potencial constante, , e obtenha a relação entre e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a soma de duas funções de onda, e , resolve a equação de Schrödinger para uma partícula com massa em um potencial constante . Além disso, precisamos encontrar a relação entre os valores de e . Para isso, vamos precisar entender a equação de Schrödinger e como as funções de onda se comportam nela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em um potencial :
Aqui, é a função de onda, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, e é o potencial.

Passo 3

Nosso objetivo é verificar se a soma das funções de onda satisfaz essa equação. Vamos calcular os termos da equação de Schrödinger para .

Passo 4

Primeiro, calculamos a derivada parcial de em relação ao tempo:
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 5

Agora, calculamos a segunda derivada parcial de em relação a :
Calculando cada derivada:
Similarmente,
Então,

Passo 6

Agora, substituímos e na equação de Schrödinger:
Simplificando o lado esquerdo:
E o lado direito:

Passo 7

Igualando os dois lados da equação:
Para que isso seja verdadeiro para qualquer e , os coeficientes devem ser iguais:

Passo 8

Agora, resolvemos essa equação para relacionar e :
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:

Resposta

A soma das funções de onda é solução da equação de Schrödinger quando a relação entre e é dada por:

Exercícios relacionados

Um elétron e um fóton têm, cada um, um comprimento de onda de 3,0 Angstrom ( ). Cálcule as energias e os momentos de cada um e interprete o resultado.
Encontre o comprimento de onda para uma partícula para as condições dadas:
c) se o comprimento de onda for de , qual é a energia e a velocidade de um feixe de elétrons e de um feixe de nêutrons.
O estado inicial de uma partícula, em , é dado por
onde e são parametros reais. Encontre b) o valor esperado da posição
Em geral, a mecânica quântica é relevante quando o comprimento de onda de de Broglie da partícula em questão ( ) é da ordem do comprimento característico do sistema. Em equilíbrio térmico à temperatura T (em Kelvin), a energia cinética média de uma partícula é
Onde é a constante de Boltzmann) e, portanto, o comprimento de onda típico de de Broglie é
O objetivo desse problema é explorar quais sistemas terão de ser tratados do ponto de vista da mecânica quântica e quais podem tranquilamente ser descritos classicamente. b) Gases: para quais temperaturas os átomos em um gás ideal em pressão são quânticos? Dica: use a lei dos gases ideais para deduzir o espaçamento interatômico. Resposta: . Evidentemente, para o gás mostrar o comportamento quântico, queremos que seja o menor possível e tão grande quanto possível. Faça o cálculo para o hélio a pressão atmosférica. O hidrogênio no espaço sideral (onde o espaço intermolecular é de cerca de 1 cm e a temperatura é de 3 K ) é quântico?