Mostre que a soma das funções de onda
é solução da equação de Schroedinger para uma partícula de massa
num potencial constante,
, e obtenha a relação entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a soma de duas funções de onda,
e
, resolve a equação de Schrödinger para uma partícula com massa
em um potencial constante
. Além disso, precisamos encontrar a relação entre os valores de
e
. Para isso, vamos precisar entender a equação de Schrödinger e como as funções de onda se comportam nela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em um potencial
:
Aqui,
é a função de onda,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula, e
é o potencial.
Passo 3
Nosso objetivo é verificar se a soma das funções de onda
satisfaz essa equação. Vamos calcular os termos da equação de Schrödinger para
.
Passo 4
Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação ao tempo:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 5
Agora, calculamos a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Calculando cada derivada:
Similarmente,
Então,
Passo 6
Agora, substituímos
e
na equação de Schrödinger:
Simplificando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Passo 7
Igualando os dois lados da equação:
Para que isso seja verdadeiro para qualquer
e
, os coeficientes devem ser iguais:
Passo 8
Agora, resolvemos essa equação para relacionar
e
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Resposta
A soma das funções de onda
é solução da equação de Schrödinger quando a relação entre
e
é dada por: