O estado de tensões 3 D em um corpo foi calculado como:
[sigma]=[ccc 3 x y & 5 y^2 & 0 5 y^2 & 0 & 2 z 0 & 2 z & 0 ] [MPa]
Deduza as expressões para as forças de corpo bx, by e bz de forma que as equações de equilíbrio estáticas sejam satisfeitas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um estado de tensões 3D num corpo, dado por uma matriz de tensões. Nosso objetivo é encontrar as expressões das forças de corpo e que fazem com que as equações de equilíbrio estático sejam satisfeitas. Para isso, vamos usar o conceito de equilíbrio das forças internas e externas no corpo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as equações de equilíbrio estático para um corpo em 3D. Elas são fundamentais para garantir que o corpo esteja em equilíbrio, ou seja, sem acelerações. As equações são:
partial sigmaxxpartial x + partial sigmaxypartial y + partial sigmaxzpartial z + bx = 0
partial sigmayxpartial x + partial sigmayypartial y + partial sigmayzpartial z + by = 0
partial sigmazxpartial x + partial sigmazypartial y + partial sigmazzpartial z + bz = 0
Essas são as equações de equilíbrio para as direções , e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos identificar os componentes da matriz de tensões fornecida:
[sigma] = 3xy & 5y^2 & 0 5y^2 & 0 & 2z 0 & 2z & 0 [MPa]
Aqui, podemos identificar:

Passo 4

Vamos agora aplicar essas expressões nas equações de equilíbrio que escrevemos no Passo 2.
Para a direção partial sigmaxxpartial x + partial sigmaxypartial y + partial sigmaxzpartial z + bx = 0 :
partial (3xy)partial x + partial (5y^2)partial y + partial (0)partial z + bx = 0
Substituindo:
3y + 10y + 0 + bx = 0
Calculando as derivadas:
13y + bx = 0 Rightarrow bx = -13y
Simplificando:

Passo 5

Para a direção partial sigmayxpartial x + partial sigmayypartial y + partial sigmayzpartial z + by = 0 :
partial (5y^2)partial x + partial (0)partial y + partial (2z)partial z + by = 0
Substituindo:
0 + 0 + 2 + by = 0
Calculando as derivadas:
2 + by = 0 Rightarrow by = -2
Simplificando:

Passo 6

Para a direção partial sigmazxpartial x + partial sigmazypartial y + partial sigmazzpartial z + bz = 0 :
partial (0)partial x + partial (2z)partial y + partial (0)partial z + bz = 0
Substituindo:
0 + 0 + 0 + bz = 0
Calculando as derivadas:
bz = 0
Simplificando:

Resposta

As expressões das forças de corpo que satisfazem as equações de equilíbrio estático são:
bx = -13y [MPa]
by = -2 [MPa]
bz = 0 [MPa]

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