O estado de tensões 3 D em um corpo foi calculado como:
Deduza as expressões para as forças de corpo e de forma que as equações de equilíbrio estáticas sejam satisfeitas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um estado de tensões 3D num corpo, dado por uma matriz de tensões. Nosso objetivo é encontrar as expressões das forças de corpo e que fazem com que as equações de equilíbrio estático sejam satisfeitas. Para isso, vamos usar o conceito de equilíbrio das forças internas e externas no corpo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as equações de equilíbrio estático para um corpo em 3D. Elas são fundamentais para garantir que o corpo esteja em equilíbrio, ou seja, sem acelerações. As equações são:
Essas são as equações de equilíbrio para as direções , e , respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos identificar os componentes da matriz de tensões fornecida:
Aqui, podemos identificar:
Passo 4
Vamos agora aplicar essas expressões nas equações de equilíbrio que escrevemos no Passo 2.
Para a direção :
Substituindo:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Passo 5
Para a direção :
Substituindo:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Passo 6
Para a direção :
Substituindo:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Resposta
As expressões das forças de corpo que satisfazem as equações de equilíbrio estático são: