O estado de tensões 3 D em um corpo foi calculado como:
Deduza as expressões para as forças de corpo e de forma que as equações de equilíbrio estáticas sejam satisfeitas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um estado de tensões 3D num corpo, dado por uma matriz de tensões. Nosso objetivo é encontrar as expressões das forças de corpo e que fazem com que as equações de equilíbrio estático sejam satisfeitas. Para isso, vamos usar o conceito de equilíbrio das forças internas e externas no corpo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as equações de equilíbrio estático para um corpo em 3D. Elas são fundamentais para garantir que o corpo esteja em equilíbrio, ou seja, sem acelerações. As equações são:
Essas são as equações de equilíbrio para as direções , e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos identificar os componentes da matriz de tensões fornecida:
Aqui, podemos identificar:

Passo 4

Vamos agora aplicar essas expressões nas equações de equilíbrio que escrevemos no Passo 2.
Para a direção :
Substituindo:
Calculando as derivadas:
Simplificando:

Passo 5

Para a direção :
Substituindo:
Calculando as derivadas:
Simplificando:

Passo 6

Para a direção :
Substituindo:
Calculando as derivadas:
Simplificando:

Resposta

As expressões das forças de corpo que satisfazem as equações de equilíbrio estático são:

Exercícios relacionados

A seguinte distribuição de tensões foi encontrada para um componente 2D:
Deduza as expressões para as forças de corpo e para que as equações de equilíbrio estáticas sejam satisfeitas. Calcule o valor de e no ponto .
A partir do comportamento tensão deformação em tração para a amostra de latão, determine o seguinte:
a) O módulo de elasticidade.
(Resp. )
Observa-se que uma barra de de comprimento e de diâmetro, feita de um material homogêneo e isotrópico, aumenta no comprimento em , e diminui no diâmetro em quando submetida a uma força axial de . Determine o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material.
Seja uma placa sob o seguinte estado plano de tensões:
Utilizando as fórmulas de transformação de tensões dadas em aula, calcule as componentes para um sistema de coordenadas rotacionado de a partir do eixo , no sentído horário. Repita o exercício montando uma matriz de mudança de base e aplicando sobre .