A seguinte distribuição de tensões foi encontrada para um componente 2D:
Deduza as expressões para as forças de corpo
e
para que as equações de equilíbrio estáticas sejam satisfeitas. Calcule o valor de
e
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma distribuição de tensões para um componente 2D e precisa descobrir as expressões das forças de corpo
e
para que as equações de equilíbrio estáticas sejam satisfeitas. Além disso, precisa calcular esses valores no ponto
. Vamos usar conceitos de mecânica dos sólidos, especificamente as equações de equilíbrio estático em duas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de equilíbrio estático para um sistema 2D. Essas equações garantem que, para não haver movimento, a soma das forças em cada direção deve ser zero. Matematicamente, elas são expressas como:
Aqui,
,
,
e
são os componentes da tensão, e
e
são as forças de corpo que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos identificar os componentes da tensão dados no problema:
Perceba que
, o que é esperado por causa da simetria do tensor de tensões.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para as equações de equilíbrio.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Em seguida, a derivada de
em relação a
:
Para a segunda equação, a derivada de
em relação a
é a mesma que a de
em relação a
:
E a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas nas equações de equilíbrio.
Para a primeira equação:
Simplificando:
Isolando
:
Para a segunda equação:
Simplificando:
Isolando
:
Passo 6
Agora que temos as expressões para
e
, vamos calcular os valores no ponto
.
Substituindo
e
em
:
E em
:
Resposta
As forças de corpo no ponto
são
MPa e
MPa.