A seguinte distribuição de tensões foi encontrada para um componente 2D:
Deduza as expressões para as forças de corpo e para que as equações de equilíbrio estáticas sejam satisfeitas. Calcule o valor de e no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma distribuição de tensões para um componente 2D e precisa descobrir as expressões das forças de corpo e para que as equações de equilíbrio estáticas sejam satisfeitas. Além disso, precisa calcular esses valores no ponto . Vamos usar conceitos de mecânica dos sólidos, especificamente as equações de equilíbrio estático em duas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de equilíbrio estático para um sistema 2D. Essas equações garantem que, para não haver movimento, a soma das forças em cada direção deve ser zero. Matematicamente, elas são expressas como:
Aqui, , , e são os componentes da tensão, e e são as forças de corpo que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos identificar os componentes da tensão dados no problema:
Perceba que , o que é esperado por causa da simetria do tensor de tensões.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para as equações de equilíbrio.
Primeiro, a derivada de em relação a :
Em seguida, a derivada de em relação a :
Para a segunda equação, a derivada de em relação a é a mesma que a de em relação a :
E a derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas nas equações de equilíbrio.
Para a primeira equação:
Simplificando:
Isolando :
Para a segunda equação:
Simplificando:
Isolando :

Passo 6

Agora que temos as expressões para e , vamos calcular os valores no ponto .
Substituindo e em :
E em :

Resposta

As forças de corpo no ponto são MPa e MPa.

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(Resp. )
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