A seguinte distribuição de tensões foi encontrada para um componente 2D:
[sigma]=[cc 6 x^2+3 x y+15 & 4 x^2+3 y+10 y x 4 x^2+3 y+10 x y & 2 x y+20 ] [MPa]
Deduza as expressões para as forças de corpo bx e by para que as equações de equilíbrio estáticas sejam satisfeitas. Calcule o valor de bx e by no ponto (3,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma distribuição de tensões para um componente 2D e precisa descobrir as expressões das forças de corpo e para que as equações de equilíbrio estáticas sejam satisfeitas. Além disso, precisa calcular esses valores no ponto . Vamos usar conceitos de mecânica dos sólidos, especificamente as equações de equilíbrio estático em duas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de equilíbrio estático para um sistema 2D. Essas equações garantem que, para não haver movimento, a soma das forças em cada direção deve ser zero. Matematicamente, elas são expressas como:
partial sigmaxxpartial x + partial sigmaxypartial y + bx = 0
partial sigmayxpartial x + partial sigmayypartial y + by = 0
Aqui, , , e são os componentes da tensão, e e são as forças de corpo que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos identificar os componentes da tensão dados no problema:
sigmaxx = 6x^2 + 3xy + 15
sigmaxy = 4x^2 + 3y + 10xy
sigmayx = sigmaxy = 4x^2 + 3y + 10xy
sigmayy = 2xy + 20
Perceba que , o que é esperado por causa da simetria do tensor de tensões.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para as equações de equilíbrio.
Primeiro, a derivada de partial sigmaxxpartial x = partialpartial x(6x^2 + 3xy + 15) = 12x + 3y em relação a partial sigmaxypartial y = partialpartial y(4x^2 + 3y + 10xy) = 3 + 10x :
partial sigmayxpartial x = partialpartial x(4x^2 + 3y + 10xy) = 8x + 10y
Em seguida, a derivada de partial sigmayypartial y = partialpartial y(2xy + 20) = 2x em relação a :
Para a segunda equação, a derivada de em relação a é a mesma que a de em relação a :
E a derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas nas equações de equilíbrio.
Para a primeira equação:
12x + 3y + 3 + 10x + bx = 0
Simplificando:
(12x + 10x) + (3y) + 3 + bx = 0
22x + 3y + 3 + bx = 0
Isolando bx = -22x - 3y - 3 :
8x + 10y + 2x + by = 0
Para a segunda equação:
(8x + 2x) + 10y + by = 0
Simplificando:
10x + 10y + by = 0
by = -10x - 10y
Isolando :

Passo 6

Agora que temos as expressões para bx = -22(3) - 3(2) - 3 = -66 - 6 - 3 = -75 [MPa] e by = -10(3) - 10(2) = -30 - 20 = -50 [MPa] , vamos calcular os valores no ponto .
Substituindo e em :
E em :

Resposta

As forças de corpo no ponto são MPa e MPa.

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