Usando séries de potências, prove que: d) lim x 1 ln x-x+1x-1=0

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de limites usando séries de potências. A gente precisa provar que:
lim x 1 ln x - x + 1x - 1 = 0
Para resolver isso, vamos usar séries de potências para expandir as funções envolvidas e simplificar a expressão. A gente vai precisar entender como expandir a função logaritmo natural ( ) em série de potências e manipular essas séries para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir ln x = ln (1 + h) em uma série de potências em torno de ln(1 + h) = h - h^22 + h^33 - h^44 + cdots . Fazendo uma substituição para facilitar, vamos definir ln x = (x - 1) - (x - 1)^22 + (x - 1)^33 - (x - 1)^44 + cdots , então quando , temos . Assim, podemos escrever:
A expansão em série de Taylor para em torno de é:
Agora, substituindo de volta :

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expansão na expressão original do limite:
ln x - x + 1x - 1 = [(x - 1) - (x - 1)^22 + (x - 1)^33 - cdots] - x + 1x - 1
Simplificando os termos dentro do numerador:
(x - 1) - x + 1 = 0
Então, temos:
- (x - 1)^22 + (x - 1)^33 - cdots x - 1

Passo 4

Agora, vamos dividir cada termo do numerador por - (x - 1)^22(x - 1) + (x - 1)^33(x - 1) - cdots = - x - 12 + (x - 1)^23 - cdots :
limx to 1 ( - x - 12 + (x - 1)^23 - cdots ) = 0
Agora, ao tomar o limite quando , ou seja, , cada termo que contém vai para zero:

Resposta

lim x 1 ln x - x + 1x - 1 = 0

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