Usando séries de potências, prove que: d)
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de limites usando séries de potências. A gente precisa provar que:
Para resolver isso, vamos usar séries de potências para expandir as funções envolvidas e simplificar a expressão. A gente vai precisar entender como expandir a função logaritmo natural (
) em série de potências e manipular essas séries para encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir
em uma série de potências em torno de
. Fazendo uma substituição para facilitar, vamos definir
, então quando
, temos
. Assim, podemos escrever:
A expansão em série de Taylor para
em torno de
é:
Agora, substituindo de volta
:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa expansão na expressão original do limite:
Simplificando os termos dentro do numerador:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos dividir cada termo do numerador por
:
Agora, ao tomar o limite quando
, ou seja,
, cada termo que contém
vai para zero: