Seja uma matriz nxpe seja . Se , encontre uma base para o subespaço de nxn e obtenha a dim

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz e queremos encontrar todas as matrizes que têm o mesmo tamanho que (ou seja, 2x2) e que satisfazem a condição . Esse conjunto de matrizes forma um subespaço, chamado , dentro do espaço das matrizes 2x2. Nosso objetivo é encontrar uma base para esse subespaço e determinar a sua dimensão. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear como subespaços vetoriais, matrizes comutativas e bases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que . Duas matrizes que satisfazem essa igualdade são chamadas de matrizes comutativas em relação a . Nosso objetivo é encontrar todas essas matrizes .
Começamos assumindo que é uma matriz genérica 2x2:
Agora, vamos calcular e :
Para que , as duas matrizes resultantes devem ser iguais:
Isso nos dá um sistema de equações:
  1. (que já está satisfazendo, então não adiciona informação)

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema:
  1. De , sabemos que deve ser zero.
  2. De , temos que é igual a .
As outras entradas e não têm restrições adicionais, então elas podem ser quaisquer números reais.

Passo 4

Com base nisso, podemos expressar a matriz da seguinte forma:
Aqui, e são quaisquer números reais. Isso mostra que o espaço é formado por todas as matrizes 2x2 onde a entrada é zero e .

Passo 5

Para encontrar uma base para , identificamos os componentes livres (as entradas que podemos escolher livremente) e expressamos como uma combinação linear desses componentes.
Observamos que e são livres. Então, podemos expressar como:
Portanto, uma base para é:

Passo 6

A dimensão de um subespaço é o número de vetores em uma base desse subespaço. Como nossa base para tem 2 matrizes, isso significa que:

Resposta

Uma base para o subespaço é composta pelas matrizes
e a dimensão de é 2.

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Quais dos seguintes coniuntos:

constituem base para
Seja um conjunto de vetores de sendo
. Encontre um subconjunto de que seja base para
Estenda o conjunto a uma base de .
Quais dos seguintes coniuntos:
e
constituem base para