Seja uma matriz nxpe seja . Se , encontre uma base para o subespaço de nxn e obtenha a dim
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz e queremos encontrar todas as matrizes que têm o mesmo tamanho que (ou seja, 2x2) e que satisfazem a condição . Esse conjunto de matrizes forma um subespaço, chamado , dentro do espaço das matrizes 2x2. Nosso objetivo é encontrar uma base para esse subespaço e determinar a sua dimensão. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear como subespaços vetoriais, matrizes comutativas e bases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que . Duas matrizes que satisfazem essa igualdade são chamadas de matrizes comutativas em relação a . Nosso objetivo é encontrar todas essas matrizes .
Começamos assumindo que é uma matriz genérica 2x2:
Agora, vamos calcular e :
Para que , as duas matrizes resultantes devem ser iguais:
Isso nos dá um sistema de equações:
(que já está satisfazendo, então não adiciona informação)
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema:
De , sabemos que deve ser zero.
De , temos que é igual a .
As outras entradas e não têm restrições adicionais, então elas podem ser quaisquer números reais.
Passo 4
Com base nisso, podemos expressar a matriz da seguinte forma:
Aqui, e são quaisquer números reais. Isso mostra que o espaço é formado por todas as matrizes 2x2 onde a entrada é zero e .
Passo 5
Para encontrar uma base para , identificamos os componentes livres (as entradas que podemos escolher livremente) e expressamos como uma combinação linear desses componentes.
Observamos que e são livres. Então, podemos expressar como:
Portanto, uma base para é:
Passo 6
A dimensão de um subespaço é o número de vetores em uma base desse subespaço. Como nossa base para tem 2 matrizes, isso significa que:
Resposta
Uma base para o subespaço é composta pelas matrizes